基于算子有界性的端点或尖锐问题的函数空间实变理论及其应用

Both the real-variable theory of function spaces and the boundedness of operators are always one of the core contents of harmonic analysis, while Lorentz spaces and Musielak-Orlicz Hardy spaces are function spaces which play a key role in the study for the endpoint or the sharp problems of boundedness of operators. The applicant and his collaborators have partly developed the real-variable theory of both Musielak-Orlicz Hardy spaces on (anisotropic) Euclidean spaces and Musielak-Orlicz Hardy spaces associated with operators satisfying the reinforced non-diagonal estimates on balls on spaces of homogeneous type. This project aims, on Euclidean spaces, via weakening the requirements of growth functions, to further develop a complete real-variable theory of Musielak-Orlicz Hardy spaces; via searching for appropriate forms of growth functions, to establish a corresponding unified framework of the real-variable theory of Musielak-Orlicz Hardy spaces such that it contains, at the same time, the known Musielak-Orlicz Hardy spaces and Hardy spaces with variable exponents; to develop a real-variable theory of Lorentz-Hardy type spaces with variable exponents and, on metric measure spaces, to develop a complete real-variable theory of both Musielak-Orlicz Hardy spaces and the ones associated with more operators and with more generality. As applications, this project aims to apply all the above real-variable theories of function spaces to the study for the boundedness, particularly the endpoint or the sharp problems, of the related operators.

函数空间实变理论与算子有界性一直是调和分析研究的核心内容之一，而Lorentz空间与Musielak-Orlicz Hardy（简记为MOH）空间又是在研究算子有界性的端点和尖锐问题时起着关键作用的函数空间。申请人及其合作者已部分发展了(各向异性)欧氏空间上MOH空间及齐型空间上相关于满足球上强化非对角估计的算子的MOH空间实变理论。本课题拟在欧氏空间上，通过弱化增长函数的条件，进一步发展一套MOH空间实变理论；通过寻找增长函数的恰当形式，建立与之相适应的MOH型空间实变理论的统一框架，使之能够同时包含已有的MOH空间和变指标Hardy空间；发展一套变指标Lorentz-Hardy型空间实变理论；并在度量测度空间上发展一套完整的MOH型空间及适合于可相关于更多算子且更广的MOH型空间实变理论。作为应用，将上述所有这些函数空间实变理论应用于相关算子的有界性，特别是其端点和尖锐问题，的研究中。

函数空间实变理论与算子有界性一直是调和分析研究的核心内容之一.本项目成功获得了Musielak--Orlicz Hardy空间的Riesz变换特征和小波分解特征,并建立了鞅Musielak--Orlicz Hardy-型空间的实变理论;系统地引入和发展了欧氏空间上弱Musielak--Orlicz Hardy空间和各向异性乘积Musielak--Orlicz Hardy空间实变理论;完善了欧氏空间上变指标Hardy空间的实变理论;系统地引入和发展了欧氏空间上变指标弱Hardy空间、各向异性变指标Hardy空间以及具有无限测度的RD-空间上的变指标Hardy空间的实变理论;在齐型空间和欧氏空间上建立了与算子(包括满足有界解析泛函演算和Davies--Gaffney估计的算子,具有高斯性质的散度型椭圆算子和具有点态上界的非负自伴算子)相关的变指标(弱)Hardy空间以及Musielak--Orlicz Hardy空间的实变理论,回答了Deng等人的公开问题.此外,本项目系统地引入和发展了欧氏空间上相关于球拟Banach函数空间的Hardy空间、相关于Orlicz-slice空间的Hardy空间、各向异性(变指标)Hardy--Lorentz空间和各向异性混合模Hardy空间的实变理论,回答了Hart等人和Cleanthous等人的公开问题;建立了齐型空间上的新的Calderón再生公式并由此完善了齐型空间上的原子Hardy空间的实变理论,这完整地回答了Coifman和Weiss所提的一个公开问题;在欧氏空间上引入了John--Nirenberg--Campanato空间并研究了该空间的性质;建立了欧氏空间上Besov(-型)空间和Triebel--Lizorkin(-型)空间的球平均特征刻画、Peetre极大函数刻画以及Fourier乘子有界性;在齐型空间上,得到了Hardy空间及其对偶空间的乘积空间上的双线性分解,并在欧氏空间上,引入并研究了相关于Gauss测度的Sobolev容量,证明了等容量不等式和Sobolev--Poincaré不等式的经典等价关系;研究了有界Lipschitz区域上关于Laplace方程Robin问题的可解性.这些结果有望进一步为调和分析、偏微分方程和应用调和分析等学科中的相关问题的研究提供新的工作空间和方法.

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