非线性发展方程解的性质和动力学行为的一些问题

本项目基本上是按原计划进行研究，首先针对非线性抛物方程(组)初值和初边值问题解的整体存在性、爆破、爆破速率、单点爆破、同时爆破与非同时爆破、爆破集、Fujita 型临界指数、临界曲线、第二临界指数、生命跨度、正性、熄灭、淬灭、淬灭速率、交界面、一致有界性和大时间渐近性态等问题进行研究；其次，考虑了几类非线性波动方程(组)解的整体存在性、有限时间爆破；第三，研究了抛物-抛物、抛物-椭圆Keller-Segel趋化模型的整体存在性，一致有界性，渐近行为，有限时间爆破等问题；第四，考虑了几类非线性浅水波方程(例如Camassa-Holm方程、Novikov方程)解的局部适定性、整体解的存在唯一性、爆破准则、持久性质、解析性以及无限速度传播等问题；第五，利用非线性抛物方程变分理论和水平集方法，也开展了图像分割的研究；最后，考虑了一类Lorenz混沌系统和一类Lu系统解的有界性，并且通过数值模拟说明了方法的可行性。通过使用上下解方法，凸分析，能量方法，scaling技巧，傅里叶分析，稳态解和自相似解，带权的时空估计，对于这些热点问题取得了一系列成果。