微分动力系统的基本理论，在C^1稳定性猜测获基本解决后，近些年发展到一致双曲系统之外但又保持一定的一致双曲性的系统（英文表述Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity）的研究。在这领域我们：.1．将研究Lyapunov 指数的变化规律，包括周期轨道的Lyapunov 指数能否逼近任给的不变测度的指数，稳定遍历系统的Lyapunov 指数是否随系统变化而连续变化，廖双曲(此时Lyapunov指数单谱排列）在怎样的系统集合中稠密，廖扰动如何保持Lyapunov 指数的不变,等。.2．将通行的C^{1+\alpha}的基本假定降为C^1，得到部分成果。C^{1+\alpha}和C^1在本领域被认为是"很不同的范畴"（Phug-Shub）.廖山涛先生的方法，和我们已解决的廖先生提出的3个公开问题对上面问题的研究有独特功用。