本项目拟较为系统地研究由多种边界条件所界定的差分算子的谱结构及其相应的非线性问题解的全局分歧行为。具体地，研究 Elias关于常微分算子理论的离散化；揭示高阶差分方程特征值问题的谱结构；探究二阶差分方程边值问题的类Fu?ík谱；建立二阶p-Laplacian差分方程周期边值问题的谱理论。特别在权函数变号的前提下，揭示二阶及高阶差分方程特征值问题的谱结构。给出二阶线性方程周期边值问题的Green函数为正的最优充分条件，探讨相应非线性问题正解分支的全局行为。研究非线性高阶差分方程边值问题解的全局分歧结构，推出广义简单零点解的存在性和多解性；给出含参数非线性差分方程边值问题的解集为流形的具体条件、估计解集流形的维数；特别地，当解集流形的维数为1时，推出解的唯一性以及解的确切个数。本项目的成果不仅会加深人们对许多源于实际的离散模型的理解，而且会对微分方程数值求解提供有力的理论指导。