任意特征域简约李代数简约代数群及其广义结构与表示的研究

本项目取得了系统、丰富、较高水平的研究成果。这是本人担任主持人以来成绩最好的项目。 期间本人作为第一完成人获得了与项目相关的2023年上海市自然科学二等奖。 除了高质量完成既定的研究计划外，还获得了计划外具有显著数学意义的研究成果。总结如下：1）在素特征域代数超群与李超代数表示及其几何方面：（1.1）建立一般线性李超群Weyl模的Jantzen滤过，得到Jantzen特征标和公式。（1.2）提出第一Kac-Weisfeiler猜想超版本并证明其在典型情形与完全可解情形成立。（1.3）对于经典李超代数刻画了超Weyl群的定义序列与Dynkin图。（1.4）证明了素特征域上基本李超代数的Zassenhaus簇与其Purely-even简约李代数部分的Zassenhaus簇双有理等价。从而建立了模表示super duaility的几何版本并孕育更大发展。2）在简约李代数模表示方面：（2.1）证明有限W-代数Zassenhaus簇的正规性，证明了其光滑点与反映最大维数不可约模的Azumaya点重合。给予表示论几何刻画。（2.2）在p|n情形构造了sl(n)的正则幂零与次正则幂零reduced表示范畴的不可约模。填补了Jantzen标准条件之外的模表示研究空白。3）在Cartan型李超代数表示方面：完全分类抛物子代数，决定抛物BBG范畴block的分类与刻画，并得到不可分解Tilting模特征标公式。4）在简约群的广义结构与表示方面：（4.1）证明了在正性条件下半简约代数群的Chevalley限制定理，这一结果有广泛应用。（4.2）相应于enhanced简约群，证明了A型B型量子群的Levi型Schur-Weyl量子对偶，及A型超群版本Levi型Schur对偶。5）在有限W-代数方面：建立极小有限W-代数最高权范畴O理论。完全分类不可约模。6）在素特征域Cartan型李代数几何表示框架方面：得到了完全可解的Borel子代数共轭类，并给出共轭类簇的几何属性。7）得到了无限维李代数表示研究的丰富结果。(7.1）对向量场李代数引入Lie-Cartan模并完全分类不可约Lie-Cartan模，建立Lie-Cartan模上同调理论并建立与典型李代数上同调关系式。7.2）得到与Virasoro代数有关无限维李代数表示理论系列新结果。8）在（超）Jacobi猜想研究方面取得成果。