Efficient Quasi Monte Carlo methods and their application in Quantum Field Theory

该项目是在Euklidischen量子力学理论和空间力学中模拟问题的准蒙特卡罗（QMC）方法的研究。我们计划在集成信息的基础上进行有效的降维技术的研究和构造，并将新的差分方法引入到韦尔登中。Euklidischen Gittermill Theorie的Monte Carlo模拟的韦尔登技术及其对sogenannten的影响 没有任何图表。一种有效的降维方法QMC方法可以有效地解决Euklidischen量子力学理论和Staubschen力学的积分问题。对于一类高维数的两个极值问题，我们在r ≥=1和N为零的情况下，求出了最优解O（1/Nr）。古典音乐的命名 Monte Carlo（MC）方法只计算了O（1/N1/2）的最优解。新的自动化技术或微分器（AD）的研究包括两个非常重要的领域：首先，我们研究的方法是在集成能力的基础上进行简化。这是一个包含有复杂变量积分的Gitterdom理论系统，它在Eichtheorien和随机估计中使用了离散的夸克传播子。 Zu diesem Zwecke quantifizieren wir die effektive Dimension mit Hilfe von ableitungsbasierten Sobol-Sensitivitäten.使用AD技术可以获得最佳的韦尔登，就像我们在一个Antragsteller文章中所做的那样。 Zweitens beabisichtigen wir die Nutzung von Ableitungsinformation für die effektive Construktion von an den Integranden angepasten QMC Regeln. 在Antragsteller的第二篇文章中，dass neue AD Techniken zur Konstruktion effizienter Gitterregeln für gewichtete Rästenbenutzt韦尔登können。这是一个西方的量子力学前沿问题，我们将讨论韦尔登问题。因此，韦尔登我们将对Sobol Folgen的效率进行分析，并将其与一个小的Anzahl一起分析，该小的Anzahl是对高维度问题的统一保证。 我们计划对QMC方法进行构造和分析，并对存在的问题进行简化。我们在一个竞争集团的相关自由等级中遇到了问题。 一个新的Herausforderung sind sind sogenannte unverbundene Beiträge，die mit conventionellen MC Methoden kaum in den Griff zu bekommen sind. Gerade würde die erfolgreiche Anwendung von QMC Methoden einen Durchbruch für die Quantenchromodynamik bedeuten.

Das Ziel des Projektes ist die Erforschung von quasi-Monte Carlo (QMC) Methoden für Anwendungen in der Euklidischen Quantenfeldtheorie und der Statistischen Mechanik. Wir planen die Erforschung und Konstruktion effektiver Techniken zur Reduktion der effektiven Dimension auf der Basis von Ableitungsinformation über den Integranden, die mit neuen Verfahren des Algorithmischen Differenzierens gewonnen werden können. Diese Techniken werden für Monte Carlo Simulationen von Modellen der Euklidischen Gitterfeldtheorie und für die Berechnung von sogenannten nichtverbundenen Diagrammen benutzt. Eine effiziente Reduktion der effektiven Dimension macht QMC Methoden anwendbar auf Integrationsprobleme der Euklidischen Quantenfeldtheorie und der Statistischen Mechanik. Da die betrachteten extrem hoch dimensionalen Probleme typischerweise glatt sind, zielen wir auf Konvergenzordnungen O(1/Nr) mit r ≥=1 und N die Zahl der Auswertungen ab. Demgegenüber können klassische Monte Carlo (MC) Methoden nur die Konvergenzordnung O(1/N1/2) erreichen. Die Anwendung von neuen Techniken des Automatischen oder Algorithmischen Differenzierens (AD) verfolgt zwei unterschiedliche Zielrichtungen: Erstens erforschen wir Methoden zur Dimensionsreduktion auf der Basis von Ableitungen des Integranden. Diese repräsentieren Systeme der Gitterfeldtheorie mit kompakten Integrationsvariablen, wie sie in Eichtheorien und bei der stochastischen Evaluierung des diskretisierten Quarkpropagators auftreten. Zu diesem Zwecke quantifizieren wir die effektive Dimension mit Hilfe von ableitungsbasierten Sobol-Sensitivitäten. Deren Berechnung kann mit AD Techniken erheblich beschleunigt werden, wie vor kurzem in einem Artikel der Antragsteller gezeigt wurde. Zweitens beabsichtigen wir die Nutzung von Ableitungsinformation für die effektive Konstruktion von an den Integranden angepassten QMC Regeln. In einem zweiten Artikel der Antragsteller wurde kürzlich gezeigt, dass neue AD Techniken zur Konstruktion effizienter Gitterregeln für gewichtete Räume benutzt werden können. Dies ist eine der wesentlichen QMC Vorgehensweisen, die wir auf das Euklidische Quantenfeldproblem anwenden werden. Außerdem werden wir die Effizienz von Sobol Folgen mit zusätzlichen Eigenschaften untersuchen, die auch bei einer kleinen Anzahl von Auswertungspunkten die Garantie zusätzlicher Uniformität selbst bei hochdimensionalen Problemen liefern. Wir planen dann die Konstruktion und Anwendung von QMC Methoden und Dimensionsreduktionsverfahren auf andere Problemklassen. Insbesondere beabsichtigen wir Probleme zu betrachten in denen die relevanten Freiheitsgrade zu einer kompakten Gruppe gehören. Eine weitere Herausforderung sind sogenannte unverbundene Beiträge, die mit konventionellen MC Methoden kaum in den Griff zu bekommen sind. Gerade hier würde die erfolgreiche Anwendung von QMC Methoden einen Durchbruch für die Quantenchromodynamik bedeuten.