Computeralgebramethoden in der algebraischen Geometrie

代数几何学用Hilfe代数几何学方法研究Lösungsmengen多项式Gleichungen（Kurven，Flächen，höherdimensionale Gebilde）的结构。计算机代数的研究者们在代数结构中使用多项式，并在代数几何中使用多项式的方法进行深入的研究（Buchbergeralgorithmus zur Berechnung von Gröbnerbasen und Syzygien，Schummen zur Polynomfaktorisierung und Primärzerlegung）。典型问题是一种数学研究的工具（也常常是一种非对称的工具），一种“感兴趣的”几何对象的构造（这种构造是由不变量理论产生的），或者是一种广义的经典问题，一种更高的研究（这种构造是在不变量理论中产生的）。这个项目是两个。Einerseits geht es um die Verfeinerung（Syzygienberechnung，Polynomfaktorisierung in absolut irreduzible Faktoren，äussere Algebra Methoden）oder Neuentwicklung（absolute Primärzerlegung mit symbolischen und symbolisch-numerischen Ansätzen）grundlegender schemes sowie deren Implementierung in den für die algebraische Geometrie relevanten Computeralgebracystemen SINGULAR und MAGLAY 2.因此，韦尔登可以用来对Lösungsmengen小余维进行分类（包括Flächen和Calabi-Yau的分类）。

Algebraische Geometer studieren die Struktur von Lösungsmengen polynomialer Gleichungen (Kurven, Flächen, höherdimensionale Gebilde) mit Hilfe algebraischer Methoden. Algorithmen der Computeralgebra erlauben exaktes Rechnen in algebraischen Strukturen wie Polynomringen und damit insbesondere das intensive Studium von Beispielen in der algebraischen Geometrie mit Hilfe des Rechners (Buchbergeralgorithmus zur Berechnung von Gröbnerbasen und Syzygien, Algorithmen zur Polynomfaktorisierung und Primärzerlegung). Typische Anwendungen sind die Erkenntnis mathematischer Zusammenhänge (und oft auch entsprechender Beweisideen), die Konstruktion "interessanter" geometrischer Objekte (die etwa Gegenbeispiele zu Vermutungen liefern), oder die Wiederbelebung klassischer Probleme, die einen hohen Rechenaufwand erfordern (etwa in der Invariantentheorie). Das Ziel des Projekts ist zweifach. Einerseits geht es um die Verfeinerung (Syzygienberechnung, Polynomfaktorisierung in absolut irreduzible Faktoren, äussere Algebra Methoden) oder Neuentwicklung (absolute Primärzerlegung mit symbolischen und symbolisch-numerischen Ansätzen) grundlegender Algorithmen sowie deren Implementierung in den für die algebraische Geometrie relevanten Computeralgebrasystemen SINGULAR und MACAULAY2. Andererseits sollen Computeralgebramethoden benutzt werden, um die Klassifikation der Lösungsmengen kleiner Codimension (insbesondere Flächen und Calabi-Yau Dreifaltigkeiten) voranzutreiben.