特異最高ウェイト加群に対するＨｏｗｅ双対性の一般化

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昨年度に引き続き簡約リー群のユニタリ表現の分岐則に関する研究を行い、以下のような結果を得た。一つ目の結果として、正則離散系列表現の解析接続と呼ばれる手法を用いて、正則離散系列表現の分岐則の情報を有限次元既約表現の分岐則の情報の「極限」で記述した。この系として、正則離散系列表現を複素化が内部自己同型で移りあうような二つの対称部分群に制限するしたときの重複度の最大値が等しくなる、という結果を得た。二つ目として、対称対に制限したときに無重複となる正則離散系列表現の分類を行った。分類は上記の結果と小林俊行氏によって与えられた無重複性に関する十分条件を用いた。小林氏はこの十分条件をより一般の設定で示しているが、正則離散系列表現の対称対への制限という特殊な設定の下では必要条件になることを示すことができる。対称部分群が1次元の中心を持つ場合は、上記の有限次元表現の分岐則への帰着を用いることで、J. R. Stembridge氏による無重複な有限次元既約表現のテンソル積の分類結果に帰着することができる。三つ目として、普遍包絡環U(g)のG'-不変な元全体の成す部分代数をU(g)G'としたときに、ある分岐則から生じるU(g)G'-加群の既約性を示した。Vを(g,K)-加群、V'を(g',K')-加群とすると絡作用素全体の空間にはU(g)G'の作用が自然に定まり、U(g)G'-加群となる。Vが離散系列表現かつVの(g',K')への制限が離散分解するような場合と、Vが正則離散系列表現かつV'がある意味で一般の表現である場合に、このU(g)G'-加群の既約性を示すことができた。