Random walks, spectral gaps, and Khintchine’s theorem on fractals
Random walks, spectral gaps, and Khintchine’s theorem on fractals
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随机游走、谱间隙和分形辛钦定理
DOI：
10.1007/s00222-022-01171-4
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发表时间：
2023
影响因子：
3.1
通讯作者：
Luethi, Manuel
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Khalil, Osama;Luethi, Manuel
这项工作解决了关于同时丢番图逼近的问题，这是由Mahler关于Cantor的中1/3集的一个长期存在的问题所引起的。我们得到了完全类似的KINTCHINE定理对于分形测度成立的第一个例子。我们的结果适用于具有足够小的Hausdorff余维的由有理相似系统(对任何)自相似的分形图。在马勒问题的背景下，这类度量的一个具体例子是“MiddleCantor set”上的Hausdorff度量；即基数展开缺少一位数的一组数。关键的新内容是关于么模格的齐次空间上的某些分形度的有效等分布定理；这是独立兴趣的结果。后者是通过一种新的技术建立的，该技术包括构造具有谱间隙的FS算术运算符，并对生成分形的地图的算术结构进行编码。作为我们方法的结果，我们证明了与分形度自然相关的某些随机游动的球面平均有效地均匀分布在上。
This work addresses problems on simultaneous Diophantine approximation on fractals, motivated by a long standing problem of Mahler regarding Cantor’s middle 1/3 set. We obtain the first instances where a complete analogue of Khintchine’s Theorem holds for fractal measures. Our results apply to fractals which are self-similar by a system of rational similarities of(for any) and have sufficiently small Hausdorff co-dimension. A concrete example of such measures in the context of Mahler’s problem is the Hausdorff measure on the “middleCantor set”; i.e. the set of numbers whose baseexpansions miss a single digit. The key new ingredient is an effective equidistribution theorem for certain fractal measures on the homogeneous spaceof unimodular lattices; a result of independent interest. The latter is established via a new technique involving the construction ofS-arithmetic operators possessing a spectral gap and encoding the arithmetic structure of the maps generating the fractal. As a consequence of our methods, we show that spherical averages of certain random walks naturally associated to the fractal measures effectively equidistribute on.
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