Mathematical Sciences: Hamiltonian Systems of Infinite Dimensions

数学科学:无限维哈密顿系统

基本信息

项目摘要

9703847 T. Kappeler 1. Hamiltonian systems of infinite dimension: The analysis of the symplectic structure of the phase space of completely integrable Hamiltonian systems of (in)finite dimension is very useful in the study of Hamiltonian perturbations. The investigator plans to apply prior work on action-angle variables for the Korteweg-deVries equation (KdV) to contribute to the investigation of the problem of the existence of analytic, quasiperiodic (in time) solutions of Hamiltonian perturbations of KdV or of any of the equations in the KdV hierarchy (KAM type theorem) and to study longtime stability of solutions of perturbed KdV equations (Nekhoroshev-type estimates). Further, the investigator plans to prove, in a generic situation, local existence of (generalized) action-angle variables for a large class of completely integrable Hamiltonian systems of infinite dimension. 2. Regularized determinants of elliptic operators: They appear in modern physics (functional integrals) as well as in geometry and topology (torsion, eta-invariant). The investigator plans to continue his work on techniques for analyzing regularized determinants and their applications to geometry and topology: Torsions for bordism and relative torsion (in the usual and the L2-setting); numerical computations of regularized determinants via a deformation; manifolds of determinant class and representation of the L2-torsion of a closed manifold M as a limit of a sequence of appropriately normalized torsions associated to a sequence of finite covers of M. 3. Smoothing of dispersive waves: Dispersive waves appear in many instances, e.g. in the study of water waves. The investigator plans to analyze microlocal smoothing properties for a large class of linear and nonlinear systems of dispersive evolution equations of Schroedinger type. In many different applications, such as propagation of signals along optical fibers (telecommunication), analysis of water waves and currents, and theoretical physics (celestial mechanics, quantum field theory), the basic underlying ideal models turn out to be integrable systems of finite or infinite dimension. To be useful for applications, perturbations of these ideal models have to be studied. Whereas integrable systems of finite dimension and their perturbations are relatively well understood, much remains to be done in the infinite dimensional case.
9703847 T.卡佩勒 1.无限维的哈密顿系统: 完全可积相空间的辛结构 有限维的Hamilton系统在研究 哈密顿扰动 研究人员计划将先前的工作应用于Korteweg-deVries方程(KdV)的作用角变量,以有助于研究KdV或KdV中任何方程的Hamilton扰动的解析,准周期(时间)解的存在性问题。 KdV族(KAM型定理)和研究解的长期稳定性 扰动KdV方程(Nekhoroshev型估计)。 此外,研究者计划在一般情况下证明, 存在(广义)作用角变量的一大类 完全可积的无限维Hamilton系统。 2.椭圆算子的正则化行列式:它们出现在现代 物理学(泛函积分)以及几何学和拓扑学(扭转, η不变)。研究人员计划继续研究技术, 分析正则化行列式及其在几何学中的应用, 拓扑:带边的挠率和相对挠率(通常和 L2-设置);通过一个正则化行列式的数值计算 变形;行列式类的流形和表示 闭流形M的L2-挠作为适当序列的极限 与M的有限覆盖序列相关联的归一化挠率。 3.色散波的平滑:色散波出现在许多情况下, 例如在水波的研究中。 调查人员计划分析 大类线性和非线性的微局部光滑性质 薛定谔型色散演化方程组。 在许多不同的应用中,例如信号沿着传播 光纤(电信),水波和水流的分析,理论物理(天体力学,量子场论),基础 潜在的理想模型变成了有限或有限的可积系统, 无限维度为了对应用有用,这些扰动 必须研究理想的模型。而有限可积系统 虽然我们已经比较好地理解了维数及其扰动,但在无限维的情况下还有许多工作要做。

项目成果

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