Tensorwertige adaptive Approximation mit Anwendungen in der Akustik und Elektrodynamik

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Im Rahmen des beantragten Projektes werden Fragestellungen aus dem Bereich der effektivenadaptiven Approximation von tensorwertigen Daten bearbeitet, die insbesondere bei der numerischen Modellierung und Lösung von parameterabhängigen mehrdimensionalen Integralgleichungen entstehen. Beispielhaft werden dazu Streuprobleme akustischer und elektromagnetischer Wellen betrachtet, wobei die Wellenzahl der zusätzliche Parameter ist. Diese Probleme werden entweder als Außenraumprobleme (harter Körper in der Akustik oder idealer Leiter in der Elektrodynamik) oder als Interface-Probleme im gesamtem R3 formuliert. In beiden Fällen eignen sich die Randelementmethoden (BEM) zur numerischen Lösung im Außenraum. Diese führen auf vollbesetzte komplexwertige Matrizen, die ohne eine effektive Approximation nicht bearbeitet werden können. Besonders schwer wird die Situation, wenn, wie in der Praxis oft der Fall, ein ganzes Spektrum von Frequenzen (102 -104) von Interesse ist. Während die Approximation einzelner vollbesetzter Matrizen seit Ende der 90er Jahre von den Antragstellern als ACA-Methode („Adaptive Cross Approximation") entwickelt wurde und inzwischen weltweit benutzt wird, steht die Entwicklung entsprechender Approximationsmethoden für drei- und allgemein mehrdimensionale Daten dagegen noch aus und bildet den ersten und wichtigsten Schwerpunkt des vorliegenden Antrags. Diese Entwicklung wird auf hierarchischen Methoden mit ACA-Approximation basieren und damit von Anfang an die sog. asymptotisch optimale Methode sein. Der zweite Schwerpunkt wird die BEM für Multifrequenzstudien von Streuproblemen für die Helmholtz-Gleichung sein, der dritte Schwerpunkt bildet die entsprechenden elektromagnetischen Streuprobleme. Besonders bei letzteren sind die Multifrequenzstudien für beide Grenzfälle (niedrige und hohe Frequenzen) nichttrivial und führen auf Gleichungssysteme, die wegen einer extrem schlechten Kondition oft eine Herausforderung darstellen. So wird die Effizienz von iterativen Lösungsmethoden für dieses System im Vordergrund stehen. Die Arbeiten innerhalb dieses Projektes werden in einer engen, kontinuierlichen Zusammenarbeit der beiden Arbeitsgruppen durchgeführt, wobei die typischen Aufgabenstellungen, geometrische Daten, physikalische Parameter sowie eventuell notwendige messtechnische Validierung der Ergebnisse in der Regel von unseren zahlreichen Ingenieur- bzw. Industriekollegen bereitgestellt werden.