Adaptive solution of coupled cluster equation and tensor product approximation of two-electron integrals

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The multi-scale character of the electronic structure of molecules and solids expresses itself in the energy- and lengthscales to be encountered, which extend over several orders of magnitude. Wavelet based multi-resolution analysis, a central topic of applied mathematics, proved to be a useful tool for applications in quantum chemistry. We suggest an alternative approach to linear scaling methods for Hartree-Fock and KohnSham equations based on wavelet representations of density matrices. Such kind of approach might become competitive to conventional quantum chemistry methods, using atomic centered Gaussian-type basis sets, for systems where high numerical accuracy is required. Density matrices and other relevant operators in quantum chemistry belong to a general class of operators, where the sparsity with respect to a wavelet representation has been proved, nameley pseudo-differential and Calderón-Zygmund operators. Their operator algebra enables to control sparsity not only for individual operators but also for operator products and more general of iterative processes, which provide self-consistent solutions for these equations. So far these operators have been investigated on a pureley mathematical background. It is the purpose of the present project to exploit the potential of recent work in applied mathematics for realistic applications in quantum chemistry. Mehrskaleneigenschaften in der Elektronenstruktur von Molekülen und Festkörpern drücken sich in den dort auftretenden Energie- und Längenskalen aus, welche sich über mehrere Größenordnungen erstrecken können. Wir diskutieren einen auf einer Wavelet-Entwicklung der Dichtematrix basierenden Ansatz, mit linearem Rechenaufwand, zur Lösung von Hartree-Fock und Kohn-Sham Gleichungen. Im Vergleich mit herkömmlichen quantenchemischen Methoden, welche Gaussfunktionen als Basissätze verwenden, sollte der neue Ansatz in solchen Fällen konkurenzfähig sein wo eine hohe numerische Genauigkeit erforderlich ist. Dichtematrizen sowie eine Reihe anderer in der Quantenchemie wichtiger Operatoren, gehören zur Klasse der Pseudodifferential- bzw. Calderón-Zygmund-Operatoren. Ihre Operatoralgebra ermöglicht eine komprimierte Darstellung nicht nur des Operators selbst, sondern auch von Operatorprodukten, sowie allgemein von iterativen Prozessen, welche die selbstkonsistente Lösung dieser Gleichungen erfordert. Bisher wurde diese Klasse von Operatoren vor einem rein mathematischen Hintergrund behandelt. Es ist die Absicht des Projekts die potentiellen Möglichkeiten dieser mathematischen Methoden für realistische quantenchemische Anwendungen zu studieren.