Symbole und Indizes in der Theorie der stochastischen Prozesse und ihre Beziehungen zu Feineigenschaften der Trajektorien

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Stochastische Prozesse werden verwendet um zufällige Phänomene zu modellieren, die sich mit der Zeit entwickeln. Um zu entscheiden, ob ein solches Modell geeignet ist, die Realität widerzuspiegeln ist es wichtig, sogenannte Feineigenschaften des Prozesses zu untersuchen. Diese umfassen u.a. Angaben darüber, wie stark die Pfade fluktuieren (γ-Variation) und ob der Prozess Sprünge hat. Das in meiner Dissertation hergeleitete 'Symbol' ist eine Kenngröße, mit deren Hilfe man, unter Rückgriff auf sogenannte Indizes, Feineigenschaften des Prozesses charakterisieren kann. Die Zusammenhänge zwischen Symbol und Prozess sind im Fall von Feller-Prozessen in Ansätzen bereits gut verstanden. Allerdings habe ich die Existenz des Symbols für eine wesentlich größere Klasse (Itô-Prozesse) bewiesen. Mein Ziel ist es nun, zu untersuchen, inwieweit sich die Zusammenhänge zwischen Symbol und Prozess verallgemeinern lassen und wie das Symbol mit anderen Kenngrößen zusammenhängt, die bereits verwendet werden (z.B. Hurst-Index, Semimartingal-Charakteristiken). Anwendern soll damit die Möglichkeit gegeben werden, auf wesentlich einfachere Weise als bisher, Feineigenschaften der von ihnen verwendeten Prozesse zu untersuchen.