Siegelsche Modulformen und spezielle Zykel

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In seiner wegweisenden Arbeit über die regularisierte Theta-Korrespondenz konstruierte R. Borcherds eine Abbildung von schwach holomorphen elliptischen Modulformen zu meromorphen Modulformen auf orthogonalen Gruppen der Signatur (n,2). Diese Arbeit hat eine Reihe von Anwendungen gefunden, zum Beispiel in der Darstellungstheorie, Mathematischen Physik, Kombinatorik und im Studium der Geometrie und Arithmetik von Shimura-Varietäten. In Arbeiten von Bruinier, Funke und Yang wurde die Konstruktion von Borcherds zu einer Abbildung von harmonischen Maaß-Formen in die Gruppe der arithmetischen Divisoren der betrachteten Shimura-Varietät erweitert und mit Hilfe der Siegel-Weil Formel ein neuer Zugang zur Gross-Zagier-Formel und möglichen Verallgemeinerungen gefunden.Das Hauptziel des vorliegenden Projektes besteht darin, die Arithmetik spezieller Zykel höherer Kodimension im Kontext der regularisierten Theta-Korrespondenz zu untersuchen. Durch Liftung von geeigneten Whittaker-Formen zur symplektischen Gruppe vom Geschlecht m sollen Greensche Ströme zu speziellen Zykeln der Kodimension m und damit Klassen in arithmetischen Chow-Gruppen von orthogonalen Shimura-Varietäten konstruiert werden. Schnittpaarungen dieser Klassen mit Zykeln komplementärer Dimension sollen untersucht werden und im Rahmen des Kudla-Programms zu Ableitungen von Eisensteinreihen und L-Funktionen in Beziehung gesetzt werden. Schließlich sollen neue Modularitäts-Resultate für spezielle Zykel in Chow-Gruppen von Shimura-Varietäten bewiesen werden.