場の量子論に現れる代数構造と量子群の表現論

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Geiss-Leclerc-Schr\"oerにより導入された対称化可能一般化Cartan行列とその対称化を与える対角行列に付随する非可換代数（一般化前射影代数）の表現論について，その適切な多重次数付き加群のなす表現圏の組み合わせ論的な側面について藤田遼氏との共同研究を前年度から継続して行った．Frenkel-Reshetikhinにより導入され木村-Pestunにより一般化されたCartan行列の多変数変形（とその逆行列）について，有限型やaffine型など十分多くの場合を含む適切な型の場合に一般化前射影代数の適切な加群同士の圏論的なペアリング（次数付きEuler-Poincareペアリング）の値によって解釈できることを示し，一般化前射影代数の表現論における次数付き加群たちのなす性質を次数付きEuler-Poincareペアリングを介して一般化されたCartan行列の多変数変形の数値的な性質と対応させた．また，一般化前射影代数の適切な多重次数付き加群のなす圏の（完備化された）Grothendieck群がChariおよびBouwknegt-Pilchにより有限型の場合に導入された変形されたルート格子のbraid群対称性を一般の場合に拡張するような対称性をもつことを証明した．また，前述のペアリングを介して変形された一般化Cartan行列を変形されたルート格子のbraid群対称性と結びつける数値的な公式を得た．これらの研究成果について論文にまとめ，本年度は前年度の続きとなる2本目の論文をpreprintとしてarXiv(2302.14315)に投稿した．1本目の論文はInternational Mathematics Research Notices (Volume 2023, Issue 8)に掲載された．また研究成果に関して国内で3件，国外で3件の講演を行った．