多元環の表現論と圏化

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当該年度の主な研究成果として、次の２つの事が挙げられる。1.まず以前から引き続いている共同研究の成果として、有限次元多元環から定まるg-扇(fan)の研究がある。g-扇とは与えられた多元環に対して、その2項準傾複体のGrothendieck群から定まる扇である。こうしたものは一般の扇の中でも、符号同一性(sign-coherent)などの特別な性質を満たす事が分かっている。そこで、具体的にg-扇はどのような扇となるか、というのは自然な問題になる。我々はこの問題に関して、ランク２の有限次元多元環から定まるg-扇を完全に決定することに成功した。その為に、与えられたg-扇に対して、回転(rotation)、結合(gluing)および細分化(subdivison)という３つの操作をそれぞれを施したとき、新たに得られる扇をg-扇として与える多元環が構成できる事を示した。これによって、基本的なg-扇からスタートして、上の三つの操作で得られる全ての扇がg-扇として実現できるという定理を得るに至った。2.また1とは別に、個人の研究成果としてg-扇に対するshardの研究が挙げられる。shardとは元々超平面配置に対して導入されたある余次元１の推である。一方でg-扇とは一般に超平面配置にはならないが、それにも関わらず同様の概念をg-扇に対して拡張し定義できる事がわかった。さらにこのshardを使うことで、表現論において基本となる捩れ類(torsion class)の標準結び表現(canonical join representation)の構造についても理解でき、またブリック(brick)加群や拡大圏（wide subcategory）などの重要な概念とも対応することを示すに至った。どちらの研究成果も論文として完成させる事ができ、arXivに掲載するに至った。