大規模行列方程式に対する反復解法のためのテンソル構造保存型前処理の開発

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本研究では，振動解析や制御理論などの工学分野に現れる行列方程式を考える．大規模な行列方程式の既存数値解法として，Krylov部分空間法をはじめとした多くの連立1次方程式に対する反復法が応用されている．連立1次方程式のためのKrylov部分空間法に対しては，計算を高速化するために前処理を適用して用いることが一般的である．しかし，行列方程式のためのKrylov部分空間法に対して既存の前処理を適用した場合，行列方程式の持つ特殊な構造(テンソル構造)が崩れてしまい，前処理がない場合と比べて所要メモリが増大してしまうという問題点がある．本研究では，テンソル構造を保存するような前処理の開発を行うことで，大規模行列方程式に対する実用的数値解法の構築を目指す．本年度では，行列方程式の一種である一般化Sylvester方程式に対してテンソル構造保存型前処理の構築を行った．昨年度と同様，近似逆行列前処理を応用し，前処理行列にテンソル構造を与えることで，テンソル構造を保存するような前処理の構築を行った．前処理行列に対するテンソル構造の与え方には自由度があるため，いくつかの与え方を検討し，それぞれ前処理行列を生成した．生成したテンソル構造保存型前処理をKrylov部分空間法（Bi-CG法，Bi-CGSTAB法，GPBi-CG法など）に適用した結果，いくつかの数値例で計算の高速化を確認した．また，前処理がない場合に収束しない数値例で，テンソル構造保存型前処理によって収束する例も見られた．