準傾対象を用いた1次元岩永-Gorenstein環の表現論的研究

点击翻译按钮获取中文摘要

入射次元が1以下の正次数付き有限次元代数Aを次数付き1次元岩永-Gorenstein代数と呼ぶ。この代数の表現論における主要な研究対象は、次数付きCohen-Macaulay加群の圏、およびその安定圏SCM(A)である。安定圏は三角圏の構造を有している。本研究では三角圏を解析するための道具である準傾対象を用いて安定圏の構造解析を行う。本年度は以下の進展があった。Aの0次部分環が岩永-Gorensteinのとき、局所有限な次数付きCM加群の安定圏をL(A)と書く。L(A)は準傾対象を持つSCM(A)の三角部分圏である。本研究ではKoenig-Yangによって示された導来圏における準傾対象とt構造の1対1対応を参考に、L(A)の準傾対象とSCM(A)のt構造の対応を調べることを目的の1つに挙げている。これを特殊な自明拡大環のケースに考察した。Rを岩永-Gorenstein代数とし、Cを入射次元1の両側余傾加群とする。このとき、RのCによる自明拡大環Aは次数付き1次元岩永-Gorenstein代数となる。もしRの大域次元が有限ならば、SCM(A)と有限生成R加群の有界導来圏との圏同値が存在し、研究目的はKoenig-Yangの結果に帰着される。そのためRの大域次元が無限である場合に考察を行った。その結果、先に触れた圏同値の類似として、次の結果を得た。以下の(1)(2)を満たすSCM(A)の三角部分圏F(A)が存在する。(1)L(A)とF(A)は互いに直交する圏となっている。(2)F(A)によるSCM(A)のVerdier商は、有限生成R加群の有界導来圏と三角圏同値になる。しかも、F(A)の対象はCM R加群を用いて記述できる。この結果により、Rの大域次元が無限の場合でもRの表現論を参考にして研究を進めることが可能となった。