岩永-Gorenstein環上のCohen-Macaulay加群の安定圏の研究

二つの重要な表現論的対象である、非負次数付き岩永-Gorenstein環A上の整数次数付きCohen-Macaulay加群の安定圏と、環上の有限生成加群圏の有界導来圏の比較を行った。本年度は、Aに特別な条件を課して研究を行い、以下の成果を得た。1.2012年度にAが体上の有限次元自己入射代数である場合に、Aの0次部分環の大域次元が有限ならば、次数付きA加群の安定圏はある代数上の加群圏の導来圏と三角圏同値である事を示した。本年度では、AのC次部分環の大域次元が有限でない場合の安定圏の構造を調べた。その結果、安定圏の内部には自然なt構造が存在し、その心臓がある代数R上の加群圏に圏同値であることがわかった。この事実の応用として、安定圏にはR上の加群圏の導来圏と圏同値な三角部分圏が存在する事を示した。2. 標準次数付き一次元超曲面Aに対し、その上の整数次数付きCM加群の安定圏と別の環上の加群圏の導来圏との比較を、傾理論の観点から行った。この研究はMartin Herschend氏、伊山修氏、高橋亮氏と共同で進め、以下の成果を得た。(1)punctured spectrumで局所有限な整数次数付きCMA加群の安定圏において、傾対象の構成に成功し、その準同型環Rの有限生成射影加群の有界複体のホモトピー圏と安定圏との三角圏同値を得た。ここに現れる環Rは岩永-Gorenstein環であり、Aが孤立特異点ならばRは大域次元有限、Aが孤立特異点でないならばRは大域次元無限であることがわかった。(2)(1)で構成した三角圏同値を、整数次数付きCMA加群の安定圏とR上の加群圏の導来圏との間の三角圏同値に拡張した。

二つの重要な表現論的対象である、非負次数付き岩永-Gorenstein環A上の整数次数付きCohen-Macaulay加群の安定圏と、環上の有限生成加群圏の有界導来圏の比較を行った。本年度は、Aに特別な条件を課して研究を行い、以下の成果を得た。1.2012年度にAが体上の有限次元自己入射代数である場合に、Aの0次部分環の大域次元が有限ならば、次数付きA加群の安定圏はある代数上の加群圏の導来圏と三角圏同値である事を示した。本年度では、AのC次部分環の大域次元が有限でない場合の安定圏の構造を調べた。その結果、安定圏の内部には自然なt構造が存在し、その心臓がある代数R上の加群圏に圏同値であることがわかった。この事実の応用として、安定圏にはR上の加群圏の導来圏と圏同値な三角部分圏が存在する事を示した。2. 標準次数付き一次元超曲面Aに対し、その上の整数次数付きCM加群の安定圏と別の環上の加群圏の導来圏との比較を、傾理論の観点から行った。この研究はMartin Herschend氏、伊山修氏、高橋亮氏と共同で進め、以下の成果を得た。(1)punctured spectrumで局所有限な整数次数付きCMA加群の安定圏において、傾対象の構成に成功し、その準同型環Rの有限生成射影加群の有界複体のホモトピー圏と安定圏との三角圏同値を得た。ここに現れる環Rは岩永-Gorenstein環であり、Aが孤立特異点ならばRは大域次元有限、Aが孤立特異点でないならばRは大域次元無限であることがわかった。(2)(1)で構成した三角圏同値を、整数次数付きCMA加群の安定圏とR上の加群圏の導来圏との間の三角圏同値に拡張した。