係数環付きアーベル多様体のモジュライ空間のコンパクト化と log 幾何

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当研究は係数環付きアーベル多様体のモジュライ空間のコンパクト化を、log 幾何を用い、係数環付き log アーベル多様体のモジュライ空間として構成し、その性質や関連する課題を調べ応用することを目指すものであった。2022 年度は、2021 年度に策定したおおまかな方針に基づいて細部の検証を続けた結果、その方針で空間自体の構成が達成できることを確認することができた。具体的には、まず同種を modulo としてモジュライ関手を書き直すことによって偏極が principal な場合だけを扱うことにでき、その場合の双対 log アーベル多様体を偏極の像として定義する。その上で、問題のモジュライ関手からすでに構成されている係数環なしの場合のモジュライ空間への、係数を忘れるという射を考え、それが相対的に表現可能であることを、２つの log アーベル多様体間の準同型のなす Hom 層の表現可能性に帰着させて示すことができた。これで空間自体は構成できたことになる。また先行研究では条件つきでしか確認できていなかった log Artin criterion を改良してそれを用いる形の別証明も得ることができた。さらにこの構成された空間が log smooth であることも、係数付き log アーベル多様体の無限小持ち上げの問題となるが、係数が持ち上げられることを東屋多元環の一般論を援用して示し、それを用いて確かめることができた。ただ以上のモジュライ問題の定式化では、log 幾何を用いない先行研究にならい、標数にあたる素数の集合を固定した上で、偏極がそれらと素であるという仮定を置いているが、その素数の集合を取り替えた場合も空間が同型になるのかどうかは完全にはわかっておらず、今後の研究課題である。