p進微分方程式と対数幾何

正標数の特異多様体の対数クリスタル基本群へのモノドロミー作用素の研究の過程で、準安定還元をもつ多様体の退化の閉ファイバーとして現れる、スムーズな既約成分が横断的に交わる正規交叉多様体の基本群の研究が重要であることが明らかになった。位相空間の基本群という古典的な対象については、ファイバーの基本群と全空間の基本群と底空間の基本群のなす完全系列が基本的である。そこで、標数0の正規交叉多様体に対し, その対数構造も考えて定義されるde Rham基本群について、この類似を研究した。この場合には、正規交叉多様体を対数スキームと考え、そのうえの局所自由加群と留数が巾零の可積分接続の対のなす淡中圏の双対として基本群を定義する。定義体の自明な対数構造と、対数的点を定める対数構造の2つを考えることで、2種の基本群が得られこれらをそれぞれファイバーの基本群および全空間の塾本群と解釈する。さらに底空間の基本群としては、対数的点を定義体上の対数スキームと考えたものをとる。このとき古典的な場合と同様な完全系列が得られることがわかった。これはEsnault-Hai, Hai, Dos-Santosらによる結果の類似である。さらに代数曲線の場合には、基本群の最大pro可解商群についてファイバーの基本群から全空間の基本群への射が単射であることも証明した。このように標数0の正規交叉多様体のde Rham基本群についても、古典的な状況と類似の性質がなりたつことが示せたことは、モノドロミー作用素の研究から派生した予想外の成果であり、対数クリスタル基本群の研究の重要なステップである。

正標数の特異多様体の対数クリスタル基本群へのモノドロミー作用素の研究の過程で、準安定還元をもつ多様体の退化の閉ファイバーとして現れる、スムーズな既約成分が横断的に交わる正規交叉多様体の基本群の研究が重要であることが明らかになった。位相空間の基本群という古典的な対象については、ファイバーの基本群と全空間の基本群と底空間の基本群のなす完全系列が基本的である。そこで、標数0の正規交叉多様体に対し, その対数構造も考えて定義されるde Rham基本群について、この類似を研究した。この場合には、正規交叉多様体を対数スキームと考え、そのうえの局所自由加群と留数が巾零の可積分接続の対のなす淡中圏の双対として基本群を定義する。定義体の自明な対数構造と、対数的点を定める対数構造の2つを考えることで、2種の基本群が得られこれらをそれぞれファイバーの基本群および全空間の塾本群と解釈する。さらに底空間の基本群としては、対数的点を定義体上の対数スキームと考えたものをとる。このとき古典的な場合と同様な完全系列が得られることがわかった。これはEsnault-Hai, Hai, Dos-Santosらによる結果の類似である。さらに代数曲線の場合には、基本群の最大pro可解商群についてファイバーの基本群から全空間の基本群への射が単射であることも証明した。このように標数0の正規交叉多様体のde Rham基本群についても、古典的な状況と類似の性質がなりたつことが示せたことは、モノドロミー作用素の研究から派生した予想外の成果であり、対数クリスタル基本群の研究の重要なステップである。