Zero distribution of Dirichlet L-functions

本年度は、正方形の中に様々なサイズの正方形を無駄なく詰め込む(これを完全詰め込み, perfect packingという)計量幾何学の問題を、素数分布論などの解析的整数論の方法を用いて研究した。この研究は、去年2月ごろにarXivに発表されたTerence Taoの論文の一般化にあたる。具体的には、正の値を取るある単調増加な関数fと、自然数n_[0}および任意のパラメータ1/2<t<1に対し、一辺の長さがf(n)^{-t} (n≧n_{0})の正方形たちが、面積がΣ_{n≧n_{0}}f(n)^{-2t}の正方形に無駄なく詰め込まれるための関数fの十分条件を10個の不等式で記述した。先述したTaoの研究は、f(n)=nの場合に相当する。私の研究では、f(n)が等差数列の場合や、n番目の素数を与える関数の場合にも、n_{0}を十分大きく取ることで、このような完全詰め込みが可能であることを証明した。また、f(n)が双子素数を与える場合にも、少し大きい正方形に詰め込みが可能であることを証明した。証明には一部Mathematicaによる数値計算を用いた。同様の結果が、3次元立方体や、より一般のd次元の図形においても、ある条件下で実現することが期待され、それは今後の課題の一つとして検討している。また、この研究で用いた関数の構成法は今回の問題以外の整数論の諸問題にも幅広く応用できると期待され、ぜひ活用していきたい。研究成果は論文として発表し、Discrete Mathematics誌にアクセプトされ、2023年1月に掲載された。

本年度は、正方形の中に様々なサイズの正方形を無駄なく詰め込む(これを完全詰め込み, perfect packingという)計量幾何学の問題を、素数分布論などの解析的整数論の方法を用いて研究した。この研究は、去年2月ごろにarXivに発表されたTerence Taoの論文の一般化にあたる。具体的には、正の値を取るある単調増加な関数fと、自然数n_[0}および任意のパラメータ1/2<t<1に対し、一辺の長さがf(n)^{-t} (n≧n_{0})の正方形たちが、面積がΣ_{n≧n_{0}}f(n)^{-2t}の正方形に無駄なく詰め込まれるための関数fの十分条件を10個の不等式で記述した。先述したTaoの研究は、f(n)=nの場合に相当する。私の研究では、f(n)が等差数列の場合や、n番目の素数を与える関数の場合にも、n_{0}を十分大きく取ることで、このような完全詰め込みが可能であることを証明した。また、f(n)が双子素数を与える場合にも、少し大きい正方形に詰め込みが可能であることを証明した。証明には一部Mathematicaによる数値計算を用いた。同様の結果が、3次元立方体や、より一般のd次元の図形においても、ある条件下で実現することが期待され、それは今後の課題の一つとして検討している。また、この研究で用いた関数の構成法は今回の問題以外の整数論の諸問題にも幅広く応用できると期待され、ぜひ活用していきたい。研究成果は論文として発表し、Discrete Mathematics誌にアクセプトされ、2023年1月に掲載された。