Bergman 空間上の作用素解析

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ベルグマン空間上の特殊なシンボルを持つテープリッツ作用素の積がいつフレドホルム作用素になるのかに関する研究として代表的な結果が1998 年にSheldon Axler とDechao Zheng によって逆カールソン不等式を利用して特徴付けられた。しかし、「一般のシンボルを持つテープリッツ作用素がいつ閉値域を持つのか、いつ可逆になるのか」に関する研究は、現在殆ど知られておらず、未解決問題として残されている。この問題解決のためにもベリジン変換を利用できないかということは自然な考察であるが、そこにはかなりのギャップがあり、そのような結果は未だ知られていない。そこで、今回は先ず掛け算作用素がテープリッツ作用素の特殊な場合であることに着目し、ベリジン変換を利用した掛け算作用素の解析を行い、その結果を一般化するという方法で可逆なテープリッツ作用素の解析を進めていった。また、可逆作用素及びフレドホルム作用素となる合成作用素に関する研究も同様の手法で解析を進めていき、これまでに複数の研究論文としてまとめ上げ、投稿中である。更に、今回えられた結果をヒルベルト空間上及び多変数上の理論に応用する研究にも着手し、秋の研究集会にて発表する予定である。また、同時進行で、合成作用素がいつ閉値域を持つのかという研究、積分作用素がいつ閉値域を持つのかという研究も行い、そこで得られた結果は複数の論文雑誌に投稿し受理され掲載予定である。また新しい解析空間を定義し、その空間上でvoltera 型の積分作用素を定義し、その作用素がいつ有界になるのか、いつコンパクト作用素になるのか、そしていつ閉値域を持つのかという研究も行い、現在、検討を重ね秋の研究集会にて発表予定であり、それを更に精査して投稿も予定している。