Studies on stability of solitary waves for nonlinear dispersive wave equations

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研究の目的は、非線形シュレディンガー方程式や非線形クライン・ゴルドン方程式など非線形分散波動方程式の孤立波解の安定性に関する研究を推進することで ある。特に、パラメータによって孤立波解の安定性と不安定性が変わる臨界的な状況を考察し、非線形分散波動方程式の孤立波解のまわりの解の大域挙動の解明を目指している。 2022年度は2021年度に引き続き、空間1次元において引力的なデルタ関数ポテンシャルと5次の非線形相互作用および斥力的な3次の非線形相互作用をもつ非線形シュレディンガー方 程式の定在波解の安定性について考察した。空間1次元において5次の非線形項は質量 (L^2) の意味で臨界的である。劣臨界的な摂動項である引力的なデルタ関数ポテンシャルと斥力的な3次の非線形項を導入することにより、この臨界的状況は壊れるが、両者が釣り合ったとき、別の新たな臨界的状況が生じる。質量 (L^2ノルム) が臨界質量よりも真に小さい場合、考察している方程式の定在波解はすべて安定であると予想されるが、このことを中西賢次教授（京都大学数理解析研究所）との共同研究により、簡潔な変分的方法を用いた統一的な証明を与え、論文にまとめた。また、質量 (L^2ノルム) が臨界質量よりも真に大きい場合は、考察している方程式の定在波解はすべて不安定であると予想されるが、これまでは振動数がある値よりも大きい場合に対してしかこのことを証明することができなかった。この問題に対しても、定在波の新しい変分的特徴付けを導入することにより、すべての振動数に対して不安定性を証明することができた。臨界質量をもつ定在波解の不安定性については今後の研究課題である。