非線形波動方程式の解の特異性の解析

点击翻译按钮获取中文摘要

半線形波動方程式および連立系の解の特異性および爆発問題に関して以下の研究を行なった。1.中西賢次氏との共同研究として、波動写像型非線形項をもつ非線形波動方程式の大域的可解性について調べ、滑らかな大域解が存在するための非線形項に対する必要十分条件と小さな初期値に対する初期値問題が大域的に適切となるための解の滑らかさに関する関係について最良と思われる結果を得た。2.空間3次元における正値冪乗型非線形項をもつ半線形波動方程式系で、小さな初期データに対する初期値問題の古典解の大域存在または非存在について、久保英夫氏と共同研究を行なった。(1)波の伝播速度が等しい場合に、大域存在と非存在に関する臨海冪をもつとき、劣臨海冪の場合と同じく、任意の小さなデータに対しても有限時間内に爆発する解が存在すること、およびデータの小ささを表すパラメータを用いて解の最大存在時間に関する評価を与えた。(2)波の伝播速度が互いに異なる場合に、伝播速度の違いが、小さな初期データに対する初期値問題の古典解の大域存在または非存在に関して、どのような影響を及ぼすか、という問題について研究した。非線形項が未知関数の導関数のみに依存し未知関数自身は含んでいない場合と異なり、非線形項が未知関数のみに依存しそれらの導関数には依存しない場合には、伝播速度が異なっても臨界的状況の下で小さな初期データに対して初期値問題の古典解の大域存在が必ずしも得られるとは限らないことを明らかにした。今後の課題として、伝播速度の違いによって解の最大存在時間が延びるかどうか、という問題に興味を持っている。