Large cardinals, determinacy, and the analysis of the Chang+ model

本研究では、自然数を一般化した無限の数・無限基数と、チェス・囲碁・将棋といった二人でプレーするボードゲームを一般化した無限ゲームの関係について考察する。本研究はNam Trang助教との共同研究である。2022年度は以下の結果が得られた：1.ZF+ADを仮定すると、実数直線上のどんな非自明な順序集合による強制拡大もADのモデルにならない。2.ZF+AD^+ +V=L(P(R))を仮定し、順序数Θが正則基数であるとする。このとき、Θ上の順序集合で、新しいΘの部分集合を付加し、ADを保存する（つまり強制拡大がADのモデルとなる）ものが存在する。上記1.の結果は、ChanとJacksonが提示した問題の肯定的な解決、上記2.の結果は、Cunninghamが提示した問題の肯定的な解決となっている。また、本研究と関連して、Philipp Schlict博士との共同研究で、選択公理を仮定しないZFの下での反復強制法の一般論について考察した。その際、c.c.c.という順序集合の基本的な性質を一般化するuniformly narrowという概念を導入し、a) uniformly narrowな順序集合がZFの下で基数を保存すること、b) uniformly narrowな順序集合たちの有限台反復強制法が再びuniformly narrowとなることを証明した。上記 a), b) の結果を用いて、選択公理を仮定しないZFの下での基数普遍量についてのいくつかの成果も得られた。

本研究では、自然数を一般化した無限の数・無限基数と、チェス・囲碁・将棋といった二人でプレーするボードゲームを一般化した無限ゲームの関係について考察する。本研究はNam Trang助教との共同研究である。2022年度は以下の結果が得られた：1.ZF+ADを仮定すると、実数直線上のどんな非自明な順序集合による強制拡大もADのモデルにならない。2.ZF+AD^+ +V=L(P(R))を仮定し、順序数Θが正則基数であるとする。このとき、Θ上の順序集合で、新しいΘの部分集合を付加し、ADを保存する（つまり強制拡大がADのモデルとなる）ものが存在する。上記1.の結果は、ChanとJacksonが提示した問題の肯定的な解決、上記2.の結果は、Cunninghamが提示した問題の肯定的な解決となっている。また、本研究と関連して、Philipp Schlict博士との共同研究で、選択公理を仮定しないZFの下での反復強制法の一般論について考察した。その際、c.c.c.という順序集合の基本的な性質を一般化するuniformly narrowという概念を導入し、a) uniformly narrowな順序集合がZFの下で基数を保存すること、b) uniformly narrowな順序集合たちの有限台反復強制法が再びuniformly narrowとなることを証明した。上記 a), b) の結果を用いて、選択公理を仮定しないZFの下での基数普遍量についてのいくつかの成果も得られた。