Numerical analysis of entanglement structure by tensor network formulations

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量子物理系や統計物理系の数値解析において、波動関数や確率密度関数を精密に数値表現する目的でテンソルネットワーク形式は形成されて来た。そして近年では物理学の垣根を越えて、機械学習など応用数学や工学などの分野でも確率分布関数を表現する道具として幅広くテンソルネットワークの応用が進みつつある。扱う系の自由度に対して指数関数的に次元が増加する線型空間上のベクトルを、幾つかの脚を持つ局所的なテンソルの「縮約の網目」により表現することにより、大域的に期待値を求める計算量を大幅に抑えることが可能となるのだ。但し、ネットワークを形成するテンソルの組み合わせ方には膨大な選択肢があり得て、その中からどのように最終的なネットワーク形状を決定するかという積年の課題がある。可能な限りテンソルの脚の次元を小さく選ぶことが現実的な計算処理からの要請であり、対象となる系の特徴や内部構造を把握した上で、それに見合った結合の幾何学構造を構築する必要がある。但し、系の性質は計算による解析を通じて知り得るものであるから、幾何学構造を予め決めることは不可能であり、計算の経過とともに逐次的にネットワークの接続を改変して行く必要がある。本年度は、枝分かれのみでループを含まない木構造ネットワークを用いて格子上の量子模型の変分基底波動関数を表現する場合について、２分エンタングルメント・エントロピーを指標としつつ枝分かれのパターンを何度も局所的に組み換えるアルゴリズムの構築を試みた。その結果として、密度行列繰り込み群を自然に拡張する形で、目的とする構造最適化が可能であることが判明した。得られた自然な木構造ネットワーク上には大きなエンタングルメントを示すリンクは存在しないので、本研究の目的の一部が達成されたと言える。