頂点作用素代数と不確定特異型微分方程式

本年度の最も重要な実績は, 線形差分方程式に対するStokes構造の研究を行なったプレプリントを発表したことである.ここで, 線形差分方程式は, 正確には複素領域の複素パラメータを1ずらす作用素に関する線型方程式で, 本研究の主題である不確定特異型の微分方程式と並行したさまざまな性質を持つ. また, 頂点作用素代数とも, 量子群などを通じて密接な関連を持っている. このプレプリントでは, 線形差分方程式に対して, その「無限遠点」における方程式の不確定特異性が原因で生じるStokes現象と呼ばれる解の不連続な挙動に対して, それを記述する「Stokes構造」と呼ばれる構造を導入した. そして, 微分方程式の不確定特異性を記述するStokes構造と同様, 方程式とその解の対応であるRiemann-Hilbert対応を二つの圏の間の同値性として定式化し, これを証明した. 線形差分方程式と線形微分方程式の間の類似性はこれまでも指摘されてきたものの, 解の空間に関しては, 微分方程式と差分方程式において「定数関数」と「周期関数」の間の違いに相当する大きな違いがあったので, このような定式化が可能であるという視点は新しいと考えている. そして, これらの結果は国内外の研究集会において発表され, また, 微分方程式との類似から丁寧に解説をする集中講義も行なった.技術的な点として, このプレプリントでは無限遠での特異性にmildという条件をつけて研究を行なった. これは, より一般のwildと呼ばれるクラスでRiemann-Hilbert関手の定義に問題が生じた結果であったが, この点について, 各地で研究結果の発表, 議論を行う中でヒントを得たので, さらに追求していきたいと考えている.

本年度の最も重要な実績は, 線形差分方程式に対するStokes構造の研究を行なったプレプリントを発表したことである.ここで, 線形差分方程式は, 正確には複素領域の複素パラメータを1ずらす作用素に関する線型方程式で, 本研究の主題である不確定特異型の微分方程式と並行したさまざまな性質を持つ. また, 頂点作用素代数とも, 量子群などを通じて密接な関連を持っている. このプレプリントでは, 線形差分方程式に対して, その「無限遠点」における方程式の不確定特異性が原因で生じるStokes現象と呼ばれる解の不連続な挙動に対して, それを記述する「Stokes構造」と呼ばれる構造を導入した. そして, 微分方程式の不確定特異性を記述するStokes構造と同様, 方程式とその解の対応であるRiemann-Hilbert対応を二つの圏の間の同値性として定式化し, これを証明した. 線形差分方程式と線形微分方程式の間の類似性はこれまでも指摘されてきたものの, 解の空間に関しては, 微分方程式と差分方程式において「定数関数」と「周期関数」の間の違いに相当する大きな違いがあったので, このような定式化が可能であるという視点は新しいと考えている. そして, これらの結果は国内外の研究集会において発表され, また, 微分方程式との類似から丁寧に解説をする集中講義も行なった.技術的な点として, このプレプリントでは無限遠での特異性にmildという条件をつけて研究を行なった. これは, より一般のwildと呼ばれるクラスでRiemann-Hilbert関手の定義に問題が生じた結果であったが, この点について, 各地で研究結果の発表, 議論を行う中でヒントを得たので, さらに追求していきたいと考えている.