非線形差分方程式の可積分性の研究

1.非線形差分方程式の可積分性をソリトン理論の双一次形式の立場から調べるために、その基となる可積分な非線形微分方程式を探すプログラムを開発した。このプログラムは任意個数の従属変数に対する多項式型の連立非線形発展方程式の対称性及び保存密度を具体的に求める数式処理プログラムで、これを用いていくつかの可積分と思われる方程式を見いだした。これらの方程式が可積分であることの証明は今後の研究として残されている。2.連立の非線形発展方程式で形式的に完全可積分であるものを数え上げるための数式処理プログラムを作り、3階の発展方程式系について実際に計算を実行し、ある場合についてはかなりの進展をみた。3.時間及び空間が差分化された差分方程式に対して、その差分方程式の保存密度が多項式で表される場合に、具体的な保存密度を求めるための数式処理プログラムのプロトタイプを作成した。しかし、対象となる方程式の制限条件や実行速度の点では十分とはいえず、さらに研究が必要である。4.双一次形式の解の構造という立場から、離散パンルベII型方程式を取り上げ、特別なパラメタの値に対して、その双一次方程式が離散Airy関数を成分とするCasorati行列式解を持つことを示した。また、同様の手法が離散パンルベIII型方程式にも適用できることがわかった。

1.非線形差分方程式の可積分性をソリトン理論の双一次形式の立場から調べるために、その基となる可積分な非線形微分方程式を探すプログラムを開発した。このプログラムは任意個数の従属変数に対する多項式型の連立非線形発展方程式の対称性及び保存密度を具体的に求める数式処理プログラムで、これを用いていくつかの可積分と思われる方程式を見いだした。これらの方程式が可積分であることの証明は今後の研究として残されている。2.連立の非線形発展方程式で形式的に完全可積分であるものを数え上げるための数式処理プログラムを作り、3階の発展方程式系について実際に計算を実行し、ある場合についてはかなりの進展をみた。3.時間及び空間が差分化された差分方程式に対して、その差分方程式の保存密度が多項式で表される場合に、具体的な保存密度を求めるための数式処理プログラムのプロトタイプを作成した。しかし、対象となる方程式の制限条件や実行速度の点では十分とはいえず、さらに研究が必要である。4.双一次形式の解の構造という立場から、離散パンルベII型方程式を取り上げ、特別なパラメタの値に対して、その双一次方程式が離散Airy関数を成分とするCasorati行列式解を持つことを示した。また、同様の手法が離散パンルベIII型方程式にも適用できることがわかった。