高次元パンルヴェ型方程式の非線型・線型対応に関する研究

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2022年度の多くは引き続き，Eric Rains氏のPainleve型方程式に関する理論を核としてどのように具体例の理解に落とし込めるかという方面で研究した．Rains氏の理論では，線型常微分方程式や差分方程式のモジュライ問題（微分・差分Painleve型方程式）を考える際に，可換化してHirzebruch曲面とその上の因子の組のブローダウン構造込みでのモジュライ問題（Generalized Hitchin系）を先に考える．次元を固定すると，方程式の分類問題も，曲面上の因子の分解に関する組み合わせ論的な問題に翻訳される．実際にプログラムを組んで計算することで，２次元の場合に，古典的なPainleve方程式の線型問題の分類を再理解することはできたが，次元を上げると組合せ爆発で計算を完遂できなかった．また，以前に取り組んでいた４次元行列Painleve型方程式の対称性について，未解決だった部分を再度整理し直して計算に取り組んだ．方針としては，線型方程式から誘導される対称性として４次元行列Painleve型方程式の対称性を記述・理解するというものである．確定型の線型常微分方程式にはKatzのmiddle convolution, additionおよびSchlesinger変換といった各特異点周辺での特性指数を変える変換がある．これらの変換であって，方程式のスペクトラル型を変えないものが線型方程式の持つ対称性である．変換前後で，変形方程式であるPainleve型方程式の正準変数やパラメータがどのように変化するかを追うことで，Painleve型方程式の対称性が記述できると期待される．