クラスター代数による離散可積分系の研究とモジュラー関数への応用

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周期的なYシステムに関する研究を行った。Yシステムは熱力学的ベーテ仮設の研究に由来して1990年代にZamolodchikovによって導入されたある種の離散力学系であり、2000年以降はクラスター代数との関係を用いた研究が行われてきた。特に、周期的なYシステムは可積分系や表現論といった文脈で現れることがあり、興味深い対象と考えられている。私は以前の研究においてYシステムはシンプレクティック性を持つときおよびそのときに限ってクラスター代数上の自己同型として実現されうること示し、シンプレクティック性を持つYシステムが周期的になるための必要条件を行列の組の正値性によって与えていた。本年度の研究ではこれらの結果をランクが2のYシステムに適用することで、シンプレクティック性を持つ周期的なYシステムの完全な分類を与えた。周期的なYシステムからモジュラー性を持つNahm和が得られるということが一般に期待されているが、分類の帰結としてこれがランクが2の場合に実際に正しいことがわかった。分類に現れるNahm和は最近のWangによる研究によってRogers-Ramanujan型の無限積表示を持つことが示されたq-級数であることがわかり、モジュラー性はこのことから従う。また、青山学院大学の増田氏・大久保氏・津田氏および東北大の寺嶋氏との共同研究として、q-Painleve系のクラスター実現に関する研究を行った。非正規クラスター代数を用いて適切に変異の列を構成することで、q-Painleve系やその高階化におけるタウ関数がクラスター変数として実現できることがわかった。