Stabilität von Ruhelagen des instationären Stefan-Problems mit Gibbs-Thomson-Gesetz und a-priori-Abschätzung für fraktionelle Evolutionsgleichungen

点击翻译按钮获取中文摘要

Das Forschungsvorhaben behandelt in zwei Teilprojekten (A) und (B) qualitative Eigenschaften von nichtlinearen parabolischen Evolutionsgleichungen. Die Hauptaufgabe von (A) besteht darin, das Langzeitverhalten des mehrdimensionalen instationären Stefan-Problems mit Gibbs-Thomson-Gesetz zu untersuchen. Dabei handelt es sich um ein freies Randwertproblem, welches das Schmelzen und Verfestigen von Stoffen unter Einbeziehung der Oberflächenspannung beschreibt. Es sollen Bedingungen gefunden werden, unter denen dieses Modell im klassischen Sinne global lösbar ist, invariante Mannigfaltigkeiten um Ruhelagen besitzt und diese stabil sind. Gegenstand von (B) ist es, die für elliptische und parabolische Differentialgleichungen entwickelte DeGiorgi-Nash-Moser-Theorie auf eine allgemeine Klasse von quasilinearen parabolischen Integrodifferentialgleichungen auszudehnen. Solche Gleichungen treten u.a. bei der Modellierung von dynamischen Prozessen in Materialien mit Gedächtnis auf. Das Kernziel besteht darin, Regularitätsaussagen für schwache Lösungen dieser Probleme herzuleiten (z.B. Hölderstetigkeit). Damit eng verknüpft ist die Frage, ob positive Lösungen gewissen Harnack-Ungleichungen genügen.