Development of mathematical and computer-assisted analysis towards comprehensive description of finite-time singularities

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実時間では有限時間爆発を伴う偏微分方程式に対して、複素時間を導入することによる時間大域解の構成を、精度保証付き数値計算で実現した。時間を記述する(複素)空間での積分路と解の構造により、考察している時間を変数とする複素関数としての解の「特異点」の存在が示唆された。別の考察として、曲率流に痰を発する準線型放物型偏微分方程式の解の漸近挙動の精緻な記述を行なった。さらに、時間遅れを伴う微分方程式の爆発解のシンプルな特徴づけに対する一考察も提唱した。常微分方程式については、初期値の摂動に対して不安定な爆発解を無限遠ダイナミクスの構造に付随させて「サドル型爆発解」と名づけ、その特徴づけを精度保証付き数値計算を併用して行なった。漸近挙動、爆発時刻に対する特異性を、可視化も含めて実現した（おそらく）世界初の例である。また、タイプ1爆発解の複数項漸近展開のシステマティックな導出を行い、それを特徴づける代数的な量が無限遠ダイナミクスの線型構造と一対一対応する事を示した。これにより、爆発解の存在と力学系的特徴づけ、漸近展開が表裏一体である事が示唆された。