Randomization of persistent homology and its interaction with Schubert calculus

持久同源性的随机化及其与舒伯特微积分的相互作用

• 批准号: 20H00119
• 负责人: 平岡 裕章
• 金额: $ 28.7万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20H00119/
• 关键词: パーシステントホモロジー; シューベルトカリキュラス; ランダムトポロジー; ランダム化; シューベルト計算; 材料科学; 大数の法則; 大偏差原理; マルチパラメータ・パーシステントホモロジー; 両側シューベルト分解; シューベルト・カルキュラス

繰越研究に相当する本テーマではおもにパーシステントホモロジーの確率論的研究を実施した。ランダムトポロジーの問題として、大数の法則、中心極限定理、大偏差原理といった代表的な極限定理を証明することに成功し、それらに関する論文を執筆して投稿まで完了させた。より具体的には、ユークリッド空間内の方体集合に対して、適切な仮定を満たすランダムネスを各方体に与えることでランダム方体複体およびそのフィルトレーションモデルを定義し、それらに対してパーシステント図の極限的振る舞いを調べた。なお極限は方体複体が有限型になるように適当な窓で制限をかけ、その窓のサイズを無限大にする極限として定式化している。特に今年度の成果としては、大数の法則および大偏差原理について比較的緩い仮定のもとで、満足のいく形での定理を証明することに成功した。この際に開発したいくつかの手法は今後ランダムトポロジーの分野で重要になってくると思われる。そのなかでもパーシステント図をラドン測度とみなし、ラドン測度の空間における大偏差原理を証明する際に開発した方法論は、射影極限やベッチ数の空間サイズ依存性を精密に調べる手法となっており、同様の方法論によって例えばランダム幾何学モデル（ユークリッド空間内のランダム点過程から作られる幾何モデル）への拡張なども可能にする重要な結果だと考えている。また大数の法則と大偏差原理を同様の設定で議論できるように問題を整理したことも、極限定理を包括的に取り扱う際のボトルネックを浮き彫りにさせることに繋がり、その意味において重要な一歩であると考えている。

The research on this topic is quite accurate. The author of this paper has completed the proof of the limit theorem represented by the principle of large deviations, the law of large numbers, and the principle of large deviations In particular, the cube set in the cube space corresponds to, and appropriately adjusts, the oscillation of the cube complex and the limit of the cube set. The limit of the cube complex is finite, and the limit of the cube complex is infinite. In particular, this year's achievements and the law of large numbers and the principle of large deviations have been successfully proved. This is the first time that we've seen this. The method of precise adjustment of spatial dependence of the projective limit of the spatial dependence of the spatial dependence of The same methodology is used for example in geometry and expansion. The law of large numbers and the principle of large deviations are the same. The problem is arranged. The limit theorem is included. The problem is selected. The problem is important.

项目成果

シミュレーションデータのミクロな「形」とマクロなイオン挙動をつなぐ

连接模拟数据的微观“形状”和宏观离子行为

• 发表时间: 2023
• 作者: 赤木和人

トポロジカルデータ解析を活用した実材料の性能予測

使用拓扑数据分析预测实际材料的性能

• 发表时间: 2022
• 作者: Liu Fengnan;Fukumoto Yasuhide;Zhao Xiaopeng;米澤彰純;島田英昭;赤木和人
• 通讯作者: 赤木和人

Enumeration of connected bipartite graphs with given Betti number

具有给定 Betti 数的连通二部图的枚举

• 发表时间: 2023
• 作者: 藪奥 哲史;蓮井 太朗;白井 朋之
• 通讯作者: 白井 朋之

パーシステントホモロジーとその応用

持久同源性及其应用

• 发表时间: 2021
• 作者: Matsuzuka;Yukari;子どもと学ぶ歴史教科書の会編（中善則）;Matsumura Shin-ichi;齋木 潤;白井朋之
• 通讯作者: 白井朋之

Is the persistence diagram really a stable data descriptor?

持久性图真的是一个稳定的数据描述符吗？

• 发表时间: 2022
• 作者: Johannes Jaerisch;Hiroki Takahasi;Yasuaki Hiraoka
• 通讯作者: Yasuaki Hiraoka