Randomization of persistent homology and its interaction with Schubert calculus

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繰越研究に相当する本テーマではおもにパーシステントホモロジーの確率論的研究を実施した。ランダムトポロジーの問題として、大数の法則、中心極限定理、大偏差原理といった代表的な極限定理を証明することに成功し、それらに関する論文を執筆して投稿まで完了させた。より具体的には、ユークリッド空間内の方体集合に対して、適切な仮定を満たすランダムネスを各方体に与えることでランダム方体複体およびそのフィルトレーションモデルを定義し、それらに対してパーシステント図の極限的振る舞いを調べた。なお極限は方体複体が有限型になるように適当な窓で制限をかけ、その窓のサイズを無限大にする極限として定式化している。特に今年度の成果としては、大数の法則および大偏差原理について比較的緩い仮定のもとで、満足のいく形での定理を証明することに成功した。この際に開発したいくつかの手法は今後ランダムトポロジーの分野で重要になってくると思われる。そのなかでもパーシステント図をラドン測度とみなし、ラドン測度の空間における大偏差原理を証明する際に開発した方法論は、射影極限やベッチ数の空間サイズ依存性を精密に調べる手法となっており、同様の方法論によって例えばランダム幾何学モデル（ユークリッド空間内のランダム点過程から作られる幾何モデル）への拡張なども可能にする重要な結果だと考えている。また大数の法則と大偏差原理を同様の設定で議論できるように問題を整理したことも、極限定理を包括的に取り扱う際のボトルネックを浮き彫りにさせることに繋がり、その意味において重要な一歩であると考えている。