局所志村多様体と局所ラングランズ対応

点击翻译按钮获取中文摘要

前年度に引き続き，一般斜交群GSp(4)に伴う局所志村多様体のエタールコホモロジーが局所ラングランズ対応をどのように反映するかについての研究を中心的に進めた．前年度に行った情報収集において，Fargues-Scholzeによる局所ラングランズ対応の幾何学化の研究が，局所志村多様体のエタールコホモロジーを調べる上で重要な役割を果たすことが判明した．そこで，本年度はまず，国内の専門家を集めた研究集会を開催し，Fargues-Scholzeの研究について詳細に検討を行った．さらに，得られた知見を用いることで，GSp(4)に伴う局所志村多様体のエタールコホモロジーのGSp(4)-超尖点部分を局所ラングランズ対応を用いて完全に記述することに成功した．これは研究開始時の想定を上回る成果である．これまでの手法では，保型表現に大域化できる許容表現がエタールコホモロジーにどのように寄与するかしか決定できていなかったが，Fargues-Scholzeの結果を援用することで，保型表現に大域化できるという条件を外すことが可能になったのが最も顕著な進展である．同様の手法を，より複雑なGSp(6)の場合にも適用できるかどうかの検討も行った．その結果，少なくとも部分的にはうまくいきそうだという感触が得られたが，それと同時に，具体的な成果を挙げるには，数論幾何と保型表現論の双方においてさらに研究が必要であるという課題も判明した．これらの課題については，次年度以降の研究において優先的に扱う予定である．また，特任研究員を雇用することによって，局所志村多様体とGalois表現の保型性の関わりについても詳細な検討を行った．