リジッド幾何とラングランズ関手性

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私の研究テーマである局所ラングランズ関手性とは,非アルキメデス局所体上の簡約群の認容表現やGalois表現の間に種々の対応があるであろうという一連の予想であり,数論・代数幾何・表現論にまたがる大問題である.局所ラングランズ関手性に対しては様々なアプローチが存在するが,私は複素解析幾何の非アルキメデス類似であるリジッド幾何を用いた純局所的かつ幾何的な方法からこの問題に取り組んでいる.本年度は,GL(n)の局所ラングランズ対応を実現するリジッド幾何学的対象であるLubin-Tate空間について詳しい考察を行った.Lubin-Tate空間のエタールコホモロジーを通した局所ラングランズ対応は非可換Lubin-Tate理論の名で知られており,BoyerやHarris-Taylorらによって既に詳細な研究が行われているが,彼らの方法は志村多様体を用いた大域的手法であるため,純局所的な立場からLubin-Tate空間について再考することは意味がある.本年度に得た主な結果は,Lubin-Tate空間の中間次以外のコホモロジーとして得られるGL(n)の認容表現には超尖点表現が現れないという事実の純局所的な別証明である.この事実には既にFaltingsおよびBoyerによって志村多様体を用いた証明が与えられていたが,私の手法はより直接的かつ簡明である.同様のことはStrauchによっても考察されていたが,彼の手法ではリジッド空間のエタールコホモロジーの基礎理論に関してまだ証明されていないことを仮定する必要があるため,それと比較しても私の手法は優れているといえる.上記の結果を得た後は,Lubin-Tate空間よりも一般のRapoport-Zink空間(Lubin-Tate空間の自然な一般化であり,志村多様体の局所版と見ることもできる)に対して同様の主張を証明しようと試みた.前年度に得た,固有とは限らないリジッド空間のLefschetz跡公式と組み合わせることで,まずは基本的(basic)とは限らないアイソクリスタルに対応するRapoport-Zink空間のコホモロジーの交代和に超尖点表現が現れないことが証明できるのではないかと思い,研究を進めた.まだまとまった結果は出ていないが,このまま進めばうまくいくのではという手ごたえを感じている.