疎行列を係数とする線形方程式の反復解法と精度保証付き数値計算法の融合

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本年度は，連立一次方程式の数値解の精度保証付き数値計算にとって重要な係数行列の逆行列の最大値ノルムの上限の情報をさらに増やすことに尽力した．得られた計算結果についてはhttps://www.mathsci.shibaura-it.ac.jp/ozaki/smc_norminf.htmlで公開している．計算速度とのトレードオフを見ながらブロック計算を導入することでメモリ使用量を削減し，逆行列の最大値ノルム上限の計算に成功した．本年度に得られた結果の最大問題サイズは1,585,478となり，行列の総数は1800を超えたため，応募時の研究計画の90%を達成できたことになる．また，反復解法の精度の性能評価のためには，真の固有値がわかる係数行列の生成が必要である．よって，成分が浮動小数点数であり，真の固有値・固有ベクトルも厳密に把握可能なテスト行列の生成法の開発に成功し，一流雑誌に論文が採択された．真の解がわかる連立一次方程式をデータとして与えると，反復解法における反復毎の全数値解の相対残差を見ることができる．真の解がわかるテスト行列を用いることにより，CG法にリスタートをかけた手法は，いくつかの行列において残差は停滞しているが，誤差の意味では改善している事例が確認できた．行列・行列積，行列・ベクトル積を高精度に行う手法の開発にも力を入れた．行列積のエラーフリー変換という技術は，計算結果の信頼性を向上させる優れた手法として知られている．従来にはなかった計算パターンを開発することにより，行列積の回数が3,4,5,6,8,9,10回で高信頼な計算結果が得られるようになり，行列積の回数に比例して計算結果の精度が良くなることを確認した．また，この手法を多倍長数値計算に応用し，行列積，コレスキー分解の多倍長精度計算が高速に行えることを確認した．