四次元多様体上のエンゲル構造のトポロジーによる分類

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Engel多様体の自己同型群について以前に得られていた結果を、研究集会「接触構造、特異点、微分方程式及びその周辺」にて発表した。これは、Engel多様体がCartan延長を被覆しない場合、その自己同型群はCartan延長の自己同型群に単射で埋め込まれるという結果である。実際には、多くの場合はその自己同型群は非常に小さい群になる。さらにその系として、自己同型群が自明群となるEngel多様体の構成にも成功した。これにより、アメリカ数学研究所(AIM)で発表されていた未解決問題が解決された。本結果は、Engel多様体のやわらかさに注目していた多くの先行研究とは逆に、Engel多様体のかたさに注目したものである。一方、Engel多様体のやわらかさに注目する研究では、h-principleの理解が不可欠である。そこで私は、あらゆるh-principleの基礎となるGromovのh-principleについて、Gromov自身による抽象的な証明を正当化し、その背後にある圏論的な構造を明らかにした。これは、ホイットニー位相上の稠密性を議論するEliashberg-Mishachev流の証明よりも代数的な構造に着目しており、より広範な分野への応用可能性を示唆する結果でもある。これにより、Haefligerのh-principleや岡の原理を含む、より抽象的な理論の存在も予想できる。h-principleは微分トポロジーの研究対象として様々な分野に現れるが、その背後にある理論そのものはあまり研究されてこなかった。本結果は微分トポロジーの技術であるh-principleを代数トポロジーの視点で見直したものとも思える。これにより、h-principleの研究へ他分野からの参入者を呼び込み、h-principleをさらに多くの分野にまたがる基礎理論として再解釈することが可能ではないかと期待できる。