数論的基本群と構成的ガロア理論

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まず、研究目的「正標数の体の上の代数曲線の数論的基本群の構造、特に幾何的基本群の構造」については、以前、正標数代数閉体の上の代数曲線において、種数がtame基本群から群論的に復元されることを証明したが、その内容は、種数をある種の巡回被覆のp-rankの平均の極限として表す公式だった。今年度は、その際懸案となっていたより一般の極限公式のうちの「半分」(上極限【less than or equal】種数)を、一様分布論におけるLeVequeの定理の高次元版(Stegbuchnerの定理)を用いて証明することができた(論文投稿中)。また、研究目的「正標数の体の上の代数曲線の数論的基本群の構造」「局所体の上の代数曲線の数論的基本群の構造」に関して、PopとSaidiにより、正標数局所体の上の完備双曲的代数曲線の基本群のspecialization mapの非同型性及び正標数代数閉体上の完備双曲的代数曲線に関する弱いGrothendieck型予想(同型な基本群を持つ曲線の同型類の有限性)の成立が、いくつかの比較的強い条件の下で証明されていたが、今年度、曲線の詳しい代数幾何(一般化されたPrym多様体に対する局所Torelli問題、曲線の被覆のgonalityの評価、など)を通じてそれらの条件を外すことに成功し、一般的な定理を得た(論文執筆予定)。なお、この結果は、研究実施計画の中の惰性群の作用の記述とも密接に関係する。来年度以降はこの方向の研究を更に進めたい。更に、ごく最近、曲線のJacobi多様体と同種にならないようなアーベル多様体の存在に関するOortの問題について、曲線とアーベル多様体のモジュライ空間の幾何を通じてある肯定的結果を得た。現時点では数論的基本群との直接的関係はまだ現れていないが、今後、基本群の上のGalois表現やモジュライ空間の幾何を介して両者の関係が現れることがじゅうぶん期待される。これは、来年度以降の課題である。