数論的基本群

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研究代表者伊原は数論的曲面の研究を進め,ある代数体の整数環THETAのSpec THETAを底空間とし且つ断面を有するすべての数論的曲面X→Spec THETAはπ_1^<geo>(X′)={1}となる正規モデルX′を有する事を証明した。ここでπ_1^<geo>は基本群の幾何的部分(geometric part)を表わす。応用として,π_1^<geo>(X)={1}となるいくつかの正則曲面を見出した。証明は,一般論から従うのではなく,代数体上のすべての曲線は射影直線の三点分岐被覆として実現されるというBelyiの定理と,THETA上の一変数巾級数が有理関数を表わすための判定条件(Harbater等)を利用することによって得られる。又松本眞と共同で,絶対ガロア群の完備組糸群への外作用を研究し,組糸群を基本群とするアフィン多様体の適当な境界上の接基点(tangential base point)を構成することによって,この外作用が真の作用に持上ることを示した。織田は穴つき代数曲線Cの基本群や,C(を動かすとき)のモジュライ空間の基本群へのガロア群の作用から生ずるガロア表現について研究し,それらについて一つの基本的予想を提出した。松本眞,中村博昭(東大),上野亮一(当研究所院生),高尾尚武(同研究生)はこの予想について研究し,多くの場合これが成立することを伊原-金子昌信の結果などを用いて証明した。玉川は数体上の代数曲線のπ_5ガロア表現に対する拡張されたTate予想は有限体上の代数曲線の場合のそれに帰着することを示した。更に,Drinfeld加群の拡張に対するTate予想を一般的に証明した。辻は代数多様体のp進コホモロジー群について研究を進め,有名な比較定理に於るTate twistの条件をはずすことに成功した。これらの多くは平成6年3月末のシンポジウムで報告される予定である。