代数曲線の数論的基本群と逆ガロア問題

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研究目的「正標数の体の上の代数曲線の幾何的基本群の構造」に関して、以前に、標数2の有限体の代数閉包の上の任意の非特異アフィン代数曲線が共通の(pro-etale)普遍被覆を持つことを証明していたが、今年度は、これを任意の標数の場合に拡張することに成功した。これは、標数0における望月の定理と好対照をなし興味深い。また、この共通の普遍被覆は、複素解析幾何における上半平面の正標数類似と考えることができるが、実際にさまざまな興味深い類似現象が成立することも証明できた(以上論文準備中)。現時点ではこの類似は形式的なものにとどまっているが、より内在的な類似の追求という興味深い問題を提示している。なお、上記の結果の証明の鍵として、Skolemの問題に関するRumelyとMoret-Baillyの定理の正標数不分岐版の証明に成功した。この結果は、上記の問題以外にも、「large」な体の新しい構成、(非アーベル的な)主イデアル定理とその一般化、などさまざまな応用を持つ(以上論文投稿中)。研究目的「局所体の上の代数曲線の数論的基本群の構造」に関連して、当該科学研究費交付金により、局所体上のアーベル多様体・志村多様体の専門家であるB.Moonen氏(オランダ)を招待し、彼によるSerre-Tate理論の一般化を学ぶとともに、彼との議論の中で、研究目的「正標数の体の上の代数曲線の幾何的基本群の構造」に関連するRaynaudのテータ因子の絶対豊富性の証明に向けてのヒントを得ることができた。研究目的「大域体の上の代数曲線の数論的基本群の構造」に関しては、新しい進展は見られなかったが、構想中の有理連結多様体の理論の応用に関していくつか最近の理論を学び、方向性を得ることができた。