非可換代数曲面の分類を目的とした代数学の融合的研究

非可換代数幾何学という研究分野は１９９０年代に始まった大変新しい数学の分野で、現在欧米を中心に活発に研究されています。代数幾何学における重要な研究課題の一つは低次元代数多様体を分類することです。同様に非可換代数幾何学においても低次元非可換代数多様体を分類することが研究分野創設当初からの最重要課題となっています。実際非可換代数幾何学は非可換射影平面の斉次座標環であるところの３次元AS-regular代数の分類問題に始まったといってよいでしょう。その後非可換射影曲線の分類は完成されましたので、次なる目標は高次元非可換射影空間や非可換射影曲面を分類することです。令和４年度の主な研究業績は次の通りです。（１）博士指導学生であるHu君と松野君との共同研究で非可換射影2次曲線の研究を行い、Calabi-Yau非可換射影平面に埋め込むことのできる非可換射影2次曲線を非可換射影スキームとしての同型を除いて、またその斉次座標環を次数付き代数としての同型を除いて完全に分類することができましたが、その研究成果を研究集会で発表するとともに、その研究成果をまとめた論文がJ. Algebraに掲載されました。（２）博士指導学生であるHu君との共同研究で、（可換）多項式環の剰余環としてあらわされる２次完全交叉とClifford量子多項式環の剰余環としてあらわされる非可換2次完全交叉との間に１対１対応が存在することを証明しました。（３）アメリカ西ワシントン大学のAdam Nyman氏と共同研究を行い、AS-regular Z代数を斉次座標環とする非可換射影空間の圏論的特徴づけに成功することができましたので、その研究成果を論文にまとめる作業に取り掛かりました。

非可換代数幾何学という研究分野は１９９０年代に始まった大変新しい数学の分野で、現在欧米を中心に活発に研究されています。代数幾何学における重要な研究課題の一つは低次元代数多様体を分類することです。同様に非可換代数幾何学においても低次元非可換代数多様体を分類することが研究分野創設当初からの最重要課題となっています。実際非可換代数幾何学は非可換射影平面の斉次座標環であるところの３次元AS-regular代数の分類問題に始まったといってよいでしょう。その後非可換射影曲線の分類は完成されましたので、次なる目標は高次元非可換射影空間や非可換射影曲面を分類することです。令和４年度の主な研究業績は次の通りです。（１）博士指導学生であるHu君と松野君との共同研究で非可換射影2次曲線の研究を行い、Calabi-Yau非可換射影平面に埋め込むことのできる非可換射影2次曲線を非可換射影スキームとしての同型を除いて、またその斉次座標環を次数付き代数としての同型を除いて完全に分類することができましたが、その研究成果を研究集会で発表するとともに、その研究成果をまとめた論文がJ. Algebraに掲載されました。（２）博士指導学生であるHu君との共同研究で、（可換）多項式環の剰余環としてあらわされる２次完全交叉とClifford量子多項式環の剰余環としてあらわされる非可換2次完全交叉との間に１対１対応が存在することを証明しました。（３）アメリカ西ワシントン大学のAdam Nyman氏と共同研究を行い、AS-regular Z代数を斉次座標環とする非可換射影空間の圏論的特徴づけに成功することができましたので、その研究成果を論文にまとめる作業に取り掛かりました。