正標数関数体上の超越数論：Mahler関数と4指数問題

正特征函数域上的超越数论：马勒函数和四指数问题

• 批准号: 20J21203
• 负责人: 井手 春希
• 金额: $ 1.79万
• 依托单位: Keio University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-24 至 2023-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20J21203/
• 关键词: 超越数; 代数的独立; Mahler関数; 線形回帰数列

一般に、各々代数的独立であることが知られている複素数体の複数個の部分集合に対して、その和集合が代数的独立であるか否か判定することは困難である。令和4年度は、この問題に関する次の結果を得た。すなわち、2変数整関数の無限族であって、「それら関数族の任意の代数点における値および任意の階数の偏導関数値をすべて併せて得られる無限集合が代数的独立となる」という性質を有するものの具体例を構成した。この無限族に属する各々の関数は、単位円内の代数的数を底とし適切な条件を満たす共通の線形回帰数列を指数に持つ数列によってある明示的な方法で定義され、そのような数列の底を後述の条件のもと変化させることによって関数の無限族が得られる。これら関数各々に対して、その任意の代数点における値および任意の階数の偏導関数値からなる無限集合が代数的独立であることは前年度までの研究において証明が与えられていた。しかしそのような状況であっても、初めに述べたように、関数族として上記の性質を有することの証明はまったく容易でない問題であった。本研究では、前述の数列の底を「ペアごとの乗法的独立性」という条件のもとで変化させることで目的の性質が達成されることを、関連分野の先行研究には見られない独自のアイデアによって証明した。特に、Fibonacci数列と2つの異なる素因子のみを用いた簡明な定義式によって目的の性質を有する関数の無限族を構成できたことは意義深い。以上の結果をまとめた論文が査読付き学術雑誌に受理され、掲載予定である。

通常，很难确定联盟是否是多个已知为代数独立性的复数子集的代数独立性。在2022年，在此问题上获得了以下结果：换句话说，两变量整数函数的特定示例具有“可以通过在这些功能家族的任何代数点结合所有代数点的所有值来获得的无限集，并且该顺序的任何代数衍生值是代数独立性的。”属于该无限家族的每个函数都以某种明确的方式通过一个序列定义，该序列具有共同的线性回归序列，作为单位圆圈内代数数的基础和满足适当条件的指数，并通过在下面描述的条件下更改此类序列的基础，获得了无限的函数家族。对于这些函数中的每一个，在往年证明，任何阶的任何代数点和部分衍生值的无限值集都是代数独立性。但是，即使在这种情况下，正如一开始提到的，也不容易证明上述属性作为功能家族具有上述特征。在这项研究中，我们证明，可以使用先前在相关领域的先前研究中找不到的原始思想，可以通过在“逐对乘法独立性”的条件下更改上述序列的基础来实现所需的性质。特别是，我们能够通过仅使用斐波那契序列和两个不同的倾向因子来构建具有所需属性的无限函数家族是有意义的。总结上述结果的论文将在经过同行评审的学术期刊中接受，并将发表。

项目成果

Algebraic independence of the values and the derivatives of a certain family of Lambert-type series

某一族兰伯特级数的值和导数的代数独立性

• 发表时间: 2022
• 作者: Shimada Tomoyasu;Nishikawa Hiroki;Kong Xiangbo;Tomiyama Hiroyuki;Haruki Ide
• 通讯作者: Haruki Ide

Algebraic independence properties of certain entire functions with many variables

某些具有多个变量的整个函数的代数独立性

• 发表时间: 2022
• 作者: 井手春希;田中孝明
• 通讯作者: 田中孝明

ある2変数整関数及びその偏導関数の値の代数的独立性

两个变量的整数函数及其偏导数的值的代数独立性

• 发表时间: 2020
• 期刊: 数理解析研究所講究録
• 作者: Hasegawa Masahiro;Hirose Kei;Oka Kenta;Ohishi Yasuo;井手春希
• 通讯作者: 井手春希

Algebraic independence of the values of power series and their derivatives generated by linear recurrences

线性递推生成的幂级数及其导数的代数独立性

• DOI: 10.3836/tjm/1502179362
• 发表时间: 2022
• 期刊: Tokyo Journal of Mathematics
• 影响因子: 0.6
• 作者: Haruki Ide;Taka-aki Tanaka and Kento Toyama
• 通讯作者: Taka-aki Tanaka and Kento Toyama

Algebraic independence results for certain families of analytic functions generated by linear recurrences

线性递推生成的某些解析函数族的代数独立结果

• 发表时间: 2022
• 作者: Ito Satoshi;Akaiwa Keishi;Funabashi Yusuke;Nishikawa Hiroki;Kong Xiangbo;Taniguchi Ittetsu;Tomiyama Hiroyuki;井手春希
• 通讯作者: 井手春希