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正標数関数体上の超越数論：Mahler関数と4指数問題

正特征函数域上的超越数论：马勒函数和四指数问题

基本信息

批准号：
20J21203
负责人：
井手春希
金额：
$ 1.79万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-24 至 2023-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20J21203/
关键词：
超越数代数的独立 Mahler関数線形回帰数列

项目摘要

一般に、各々代数的独立であることが知られている複素数体の複数個の部分集合に対して、その和集合が代数的独立であるか否か判定することは困難である。令和4年度は、この問題に関する次の結果を得た。すなわち、2変数整関数の無限族であって、「それら関数族の任意の代数点における値および任意の階数の偏導関数値をすべて併せて得られる無限集合が代数的独立となる」という性質を有するものの具体例を構成した。この無限族に属する各々の関数は、単位円内の代数的数を底とし適切な条件を満たす共通の線形回帰数列を指数に持つ数列によってある明示的な方法で定義され、そのような数列の底を後述の条件のもと変化させることによって関数の無限族が得られる。これら関数各々に対して、その任意の代数点における値および任意の階数の偏導関数値からなる無限集合が代数的独立であることは前年度までの研究において証明が与えられていた。しかしそのような状況であっても、初めに述べたように、関数族として上記の性質を有することの証明はまったく容易でない問題であった。本研究では、前述の数列の底を「ペアごとの乗法的独立性」という条件のもとで変化させることで目的の性質が達成されることを、関連分野の先行研究には見られない独自のアイデアによって証明した。特に、Fibonacci数列と2つの異なる素因子のみを用いた簡明な定義式によって目的の性質を有する関数の無限族を構成できたことは意義深い。以上の結果をまとめた論文が査読付き学術雑誌に受理され、掲載予定である。

General に, independent of each 々 algebra であることが know られている after prime body の plural の part collection にし seaborne て, そのが algebra and set independent であるか no か determine することは difficult である. In the fourth year of the Reiwa era, the results of the に and <s:1> <s:1> issues related to に and する times を are を and た. すなわち number, 2 - the whole masato の infinite family であって, "それら masato clan の of arbitrary point の algebra における numerical および arbitrary のの order partial derivative masato the numerical をすべて and せて have られるが infinite set algebra of independent となる" という nature を have するものの specific example をした. この family of the infinite にする each 々の masato number は, 単 has drifted back towards ¥ の algebraic number within を bottom とし appropriate をな conditions against たすの common linear back 帰 sequence を index に hold つによってあるで definition of express なされ, そのような sequence above の conditions after の bottom をのもと variations change させることによって masato number の infinite family が must られる. これら masato number each 々にし seaborne て, その arbitrary point にの algebra おける numerical および arbitrary のの order partial derivative masato the numerical からなるが infinite set algebra of independent であることは before annual までの research において prove が and えられていた. しかしそのような condition であっても, early めに above べたように, masato number として written の nature を have することの prove はまったく easy でない problem であった. This study では, the foregoing の sequence のを "ペアごとの乗 independence" という conditions のもとで variations change させることで purpose の nature が reached されることを, masato eset の leading research には see られないの alone アイデアによって prove した. に, Fibonacci sequence と 2 つの different なる prime factor のみを with いた concise definition な type によって purpose の nature を have する masato number の infinite family を constitute できたことはい deep meaning. The above <s:1> results of the をまとめた paper が were submitted to 読 academic 雑 journal に for acceptance at され and publication at である.