Index theorem relevant to the invariants of diffeomorphism groups

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本研究は「非可換幾何学の枠組による指数定理の拡張」と「微分同相群の不変量が関与する指数定理の展開」を目標としており，202２年度には以下の成果を得た：1）F.Noether による指数公式と，我々が確立した量子ウォークに対する指数定理との関連性の解明（夏目利一との共同研究）；2）漸近的等質中心アファイン平面曲線とソリトン数との関連性に関する研究（黒瀬俊および藤岡敦との共同研究）．1）2021年度に構成した Ginsparg-Wilson 指数が関与する量子ウォークに対する指数定理と F. Noether が証明した指数定理との関連性に関する研究を進展させた．この量子ウォークに対する指数定理は，整数格子上の指数定理となっている．これを6角格子上の量子ウォークに対する指数定理へと拡張し，さらに対象を一般化して，2分岐を繰返す無限樹木 (bibary tree) 上の指数定理を研究した．この場合には，樹木のコロナ空間がカントール集合となり，J.Roe による coarse index theorem を用いて，カントール集合上への指数定理の展開が期待できる．2022年度では，bibary tree から定義される Roe 代数の K群に指数をもつ作用素を構成することに成功した．2）2021年度に導入した概念である「漸近的等質中心アファイン曲線」に対する研究を進展させて，その曲線に対応するソリトン解およびソリトン数との関連性を精査した．2022年度には，標準ソリトン曲線と呼ぶ漸近的等質中心アファイン曲線をルジャンドル関数を用いて構成することに成功した．さらに，この中心アファイン曲線の曲率が無反射ポテンシャルとなるときのソリトン数，つまりこのポテンシャルをもつシュレディンガー作用素の束縛状態の個数を，漸近的等質中心アファイン曲線の回転数で記述する公式を見出した．