離散群のポアソン境界と幾何解析

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離散群のポアソン境界と幾何解析の研究は、有限生成無限群の有界調和関数全体のなす空間に対する境界理論をテーマにしている。本年度は、主にグロモフ双曲群の位相流の研究を推し進めた。位相流は負曲率リーマン多様体の測地流に対応する力学系であり、境界に定義される測度族を系統的に比較する枠組みを提供する。我々が得た成果は一般の非初等的なグロモフ双曲群に付随する位相流は位相推移的な有限型サブシフトによりコード化できるというものである。この有限型サブシフトは群のオートマチック構造によって構成され、原理的には具体例が計算可能である。この結果は論文にまとめプレプリントとして公開し、ジャーナルに投稿中である。現在は具体例の計算を蓄積し、グロモフ双曲群以外で対応する結果の限界を見極める研究を進めている。別の方向の研究としてグロモフ双曲群２つの積の上のランダムウォークとそのポアソン境界について研究を行っている。グロモフ双曲群上のランダムウォークの研究は近年進展し、理解が飛躍的に進んでいるが、ランダムウォークが独立なものの積ではない場合、わかっていないことが多い。この場合、ポアソン境界はグロモフ境界の積の上に実現されることはわかっているが境界上の調和測度の性質（例えばハウスドルフ次元）については理解が進んでいない。この積を考える問題はノイズ鋭敏性の問題の設定で現れる状況であり、それ自体興味深いものである。本年度は２つのグロモフ双曲群の積の上のランダムウォークの研究を行い、調和測度のハウスドルフ次元について結果を得た。これについて論文にまとめ、プレプリントを公開し、ジャーナルに投稿した。