離散幾何学の手法による発生生物学の研究

統計力学や流体力学の問題に動機付けられ,整数格子上の多粒子系の確率論的モデルから連続極限により,(非線形)偏微分方程式を導出する問題(流体力学的極限)が研究されている.この研究は、ミクロの現象とマクロの現象をつなぐ構造を数学的にとらえることに動機付けられ、もともとの物理モデルの理解のみならず、より広く、非平衡物理、生命現象の理解において今後重要になってくるように考えられる.現在までの研究では、主に整数格子の統計力学的な確率モデルのスケール極限が研究されているが、近年ではランダム媒質中のランダム過程の研究の流れから、整数格子以外の枠組みでの研究も行われている。本研究の目的は、結晶格子において、粒子系を組織的に扱う方法を作り、流体力学的極限の問題を考察することである.結晶格子とは有限グラフの,アーベル群を被覆変換群に持つような被覆グラフであり,正方格子,六角格子,三角格子,またダイアモンド格子などを例として含むものである.整数格子以外の無限グラフに問題を拡張する際、その第一歩として考えられるものである.まず,連続極限の取り方に問題があるが,これは離散調和写像を用い,適切と思われる連続極限を構成した.それにより,結晶格子上で弱非対称単純排他過程を考察し,その連続極限として非線形熱方程式を導出した.また,極限の方程式が有限グラフの構造によっていること,特に,拡散係数行列をグラフの構造から組み合わせ的に計算できることを示した.これらの議論を結晶格子で統一的に行うために,局所関数束を導入し,局所エルゴード定理を証明した.次に,これらの一つの応用として,対称単純排他過程の場合において体積オーダーの大偏差原理を証明した.これらの議論の延長として,他の多粒子モデル(粒子の生成・消滅のある場合)の研究も行っている.この場合、極限の方程式の反応項が,有限グラフ各点において異なるようなモデルを考察することが可能である.

統計力学や流体力学の問題に動機付けられ,整数格子上の多粒子系の確率論的モデルから連続極限により,(非線形)偏微分方程式を導出する問題(流体力学的極限)が研究されている.この研究は、ミクロの現象とマクロの現象をつなぐ構造を数学的にとらえることに動機付けられ、もともとの物理モデルの理解のみならず、より広く、非平衡物理、生命現象の理解において今後重要になってくるように考えられる.現在までの研究では、主に整数格子の統計力学的な確率モデルのスケール極限が研究されているが、近年ではランダム媒質中のランダム過程の研究の流れから、整数格子以外の枠組みでの研究も行われている。本研究の目的は、結晶格子において、粒子系を組織的に扱う方法を作り、流体力学的極限の問題を考察することである.結晶格子とは有限グラフの,アーベル群を被覆変換群に持つような被覆グラフであり,正方格子,六角格子,三角格子,またダイアモンド格子などを例として含むものである.整数格子以外の無限グラフに問題を拡張する際、その第一歩として考えられるものである.まず,連続極限の取り方に問題があるが,これは離散調和写像を用い,適切と思われる連続極限を構成した.それにより,結晶格子上で弱非対称単純排他過程を考察し,その連続極限として非線形熱方程式を導出した.また,極限の方程式が有限グラフの構造によっていること,特に,拡散係数行列をグラフの構造から組み合わせ的に計算できることを示した.これらの議論を結晶格子で統一的に行うために,局所関数束を導入し,局所エルゴード定理を証明した.次に,これらの一つの応用として,対称単純排他過程の場合において体積オーダーの大偏差原理を証明した.これらの議論の延長として,他の多粒子モデル(粒子の生成・消滅のある場合)の研究も行っている.この場合、極限の方程式の反応項が,有限グラフ各点において異なるようなモデルを考察することが可能である.