Banach空間上のスペクトル保存写像とその応用

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古典的な等距離写像の研究は，Banach空間で定義され類似の性質をもつBanach空間に値を取るものが主な研究対象であった．この研究は1932年に発表されたBanachの定理に由来するものと考えられる．実際Banachは，コンパクト距離空間上の実数値連続関数全体のなすBanach空間の間の全射等距離写像は，荷重合成作用素の平行移動であることを示した．この定理の魅力は，等距離写像という距離を保存することだけを要求する写像の性質から，荷重合成作用素というBanach空間の線形構造を保存する構造が自動的に導かれる点にある．この定理に現れる荷重合成作用素は，コンパクト距離空間の位相構造も保存する同相写像であることが示されている．従って一般の関数空間の間の全射等距離写像の構造を知ることは極めて興味深い問題である．一方で1987年にTingleyは，Banach空間の「単位球面」の間の全射等距離写像はBanach空間全体に拡張できるか，を問題にした．この問題は「等距離写像の情報は単位球面に含まれているか」を問うものであり，様々なBanach空間に対して肯定的な結果が知られている．Banach空間の単位球面には代数構造が定義されておらず，非常に情報の少ない中から等距離写像の構造を決定する必要がある，という点で極めて困難であるが挑戦的課題である．当該年度は，可換なJB*-tripleと呼ばれる連続関数空間のある閉部分空間がMazur-Ulam propertyを有することを示した．Mazur-Ulam propertyとは，Tingley問題から自然に発生した概念であり，Mazur-Ulam propertyをもつBanach空間に対しては，自動的にTingley問題が肯定的に解決される．また単位的JB*-algebraに対しては，そのユニタリー集合上の全射等距離写像の構造を解明した．