グラフ構造の幾何学的表現の解析による数論的変換のエルゴード理論

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2022年度は、事前の計画に従い虚二次体の整数により生成される Farey グラフに関する研究を行った。特に、類数が２以上の虚2次体の場合に互いに素となる同型なグラフが類数の個数だけ存在することを明らかにした。これらを虚二次体の Farey グラフと考えることは極めて自然であり、今後これらのグラフの構造を研究する予定である。虚二次体における Farey グラフの構造について研究を進めると共に、ユークリッド虚二次体の場合にその中のサブグラフを与える nearest integer 型複素連分数のエルゴード理論の研究を前年度に引き続いて行った。またアイゼンシュタイン数体の場合のKaneiwa-Shiokawa-Tamura 型連分数のエルゴード理論の研究を行った。とりわけ、複素2次元の空間の中にこの連分数を生成する変換の自然拡大の構成にほぼ成功した。またこの場合、アイゼンシュタイン数体の2次拡大の要素とその共役元の組が自然拡大の領域に属することが、連分数展開が純周期的になることを特徴づけることを証明した。これら虚2次体の研究と並行して実数の場合に Farey グラフを与える Farey 写像のα型とよばれる一般化を試みた。従来の研究では 1/2≦α≦1 の範囲で自然拡大を通してこれらがすべて互いに同型になることが知られていた。今回の研究では √2 -1 ≦α＜ 1/2 の範囲で自然拡大の構成に成功し、ここでもすべての自然拡大がこれまでのものと同型になることを証明することに成功した。この研究はデルフト工科大学のCor Kraaikamp 准教授との共同研究である。次年度にはα型Farey写像の研究の先駆者である日本女子大夏井利恵准教授を加え、0 ＜α＜√2 - 1 の場合に対してさらなる研究を行う予定である。