グラフ構造の幾何学的表現の解析による数論的変換のエルゴード理論

通过分析图结构的几何表示的算术变换的遍历理论

基本信息

批准号：
20K03661
负责人：
仲田均
金额：
$ 2.08万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03661/
关键词：
エルゴード理論連分数変換 Farey グラフ虚2次体虚二次体

项目摘要

2022年度は、事前の計画に従い虚二次体の整数により生成される Farey グラフに関する研究を行った。特に、類数が２以上の虚2次体の場合に互いに素となる同型なグラフが類数の個数だけ存在することを明らかにした。これらを虚二次体の Farey グラフと考えることは極めて自然であり、今後これらのグラフの構造を研究する予定である。虚二次体における Farey グラフの構造について研究を進めると共に、ユークリッド虚二次体の場合にその中のサブグラフを与える nearest integer 型複素連分数のエルゴード理論の研究を前年度に引き続いて行った。またアイゼンシュタイン数体の場合のKaneiwa-Shiokawa-Tamura 型連分数のエルゴード理論の研究を行った。とりわけ、複素2次元の空間の中にこの連分数を生成する変換の自然拡大の構成にほぼ成功した。またこの場合、アイゼンシュタイン数体の2次拡大の要素とその共役元の組が自然拡大の領域に属することが、連分数展開が純周期的になることを特徴づけることを証明した。これら虚2次体の研究と並行して実数の場合に Farey グラフを与える Farey 写像のα型とよばれる一般化を試みた。従来の研究では 1/2≦α≦1 の範囲で自然拡大を通してこれらがすべて互いに同型になることが知られていた。今回の研究では √2 -1 ≦α＜ 1/2 の範囲で自然拡大の構成に成功し、ここでもすべての自然拡大がこれまでのものと同型になることを証明することに成功した。この研究はデルフト工科大学のCor Kraaikamp 准教授との共同研究である。次年度にはα型Farey写像の研究の先駆者である日本女子大夏井利恵准教授を加え、0 ＜α＜√2 - 1 の場合に対してさらなる研究を行う予定である。

在2022年，我们根据先前的计划对假想二次领域的整数产生的Furey图进行了研究。特别是，揭示了与分类数字相同类型的数字数量的数量多数，在具有两个或多个分类编号的假想二次二次字段的情况下，这些数字是相同的类型。将这些视为假想二次场的Farey图是很自然的，我们计划将来研究这些图的结构。我们一直在对假想二次场中Farey图的结构进行研究，并继续研究最近整数复合部分的厄运理论，该理论在欧几里得假想中的二次次数领域中提供了子图。我们还对艾森斯坦（Eisenstein）的数量字段的kaneiwa-shiokawa-tamura型连续部分进行了研究。特别是，我们几乎成功地构建了在复杂的二维空间中产生这种连续分数的自然变换扩展。在这种情况下，也已经证明，爱森斯坦数字及其共轭源的二次扩展的要素属于自然扩张的领域，这将连续的分数扩展的特征在于纯粹是周期性的。与对这些虚构二次磁场的研究并行，我们试图概括称为Farey地图的α型，该图为Farey图提供了实数。先前的研究已经知道，所有这些都通过自然扩张在1/2≦α≦1的范围内彼此同构。在这项研究中，我们成功地在√2-1≦α<1/2的范围内成功构建了自然扩展，并再次成功证明了所有自然扩展与过去相同的类型。这项研究是与代尔夫特理工学院副教授Cor Kraaikamp的合作。明年，我们计划增加日本女子大学的纳西·托西（Natsui Toshie）的副教授，研究α型福利映射的先驱，并将对0 <α<√2-1的情况进行进一步的研究。