Birational geometry and derived categories toward non-commutative birational geometry

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今年度は非可換変形の理論の研究を継続するとともに、代数多様体の特異点圏の研究も行った。ここで非可換変形というのは、非可換環をパラメーター空間とする変形のことである。代数多様体X上の連接層Fの変形は、DG環A = RHom(F,F)で記述される。Aは元来非可換であるので、変形のパラメーター空間として非可換なものを考えるのは自然である。さらに、非可換変形は可換変形よりも豊富に存在し、変形空間の解析からより多くの不変量を得ることができる。今年度に書いた論文では以下のことを証明した：３次元代数多様体のフロップ縮小写像に関して、この双有理写像を任意に可換変形したときの非可換変形環の変形を記述し、戸田氏やHua氏が証明したGopakumar-Vafa不変量に関する公式を、例外曲線が複数個ある場合に拡張し、そこで述べられた予想も証明した。また、一般の半普遍変形のパラメーター環を、ベクトル空間T１およびT２を使って記述する定理を証明した。さらに、コンパクト複素多様体の非可換変形を定義し、T１およびT２がHochschildコホモロジーを使って記述できることを証明した。代数多様体Xの特異点の圏は、連接層の導来圏を完全複体のなす部分圏で割った商として定義される。Xが超曲面特異点のみを持つ場合は行列分解の圏と一致し、重要である。XがGorensteinである場合にはHom集合が有限次元になるが、非Gorensteinの場合には一般には無限次元である。ここでは、極小モデル理論で重要な商特異点を持つ重みつき射影空間の場合を研究し、いくつかの例の計算を行った。