対称空間上のシュレディンガー作用素に対する幾何学的散乱理論

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昨年度の研究で得た、非コンパクト型対称空間上のディラック作用素の連続スペクトルの決定と、いくつかの特別な型の非コンパクト型対称空間上におけるディラック作用素の一様レゾルベント評価について、「日本数学会年会（2023年3月、函数解析学分科会）」において研究成果の報告を行った。また、非コンパクト型対称空間上のシュレディンガー作用素に対する一般化固有関数の無限遠での漸近解析について研究した。先行研究の論文Kaizuka (J.Funct.Anal.(2019))では、レゾルベントの漸近展開から一般化固有関数の漸近展開を導き、幾何学的散乱行列を考察した。先行研究では、非コンパクト型対称空間を動径方向にコンパクト化して、正則な点からなる球面の一部を無限遠と考えて幾何学的散乱行列と漸近展開を考察した。定量的なノルム評価に応用するには十分な解析ではあったが、非コンパクト型対称空間が持つ幾何学的な特異性を全て反映したものではなかった。そこで、非コンパクト型対称空間のMartinコンパクト化から得られる無限遠境界に関して、シュレディンガー作用素の一般化固有関数の漸近挙動を解析した。議論の途中で漸近解析の議論に一部形式的な部分があるが、結果としてMartin境界上で定義された（ある種の）幾何学的散乱行列を明示的に構築することができた。新たに得られた幾何学的散乱行列は、先行研究で得られていた散乱行列を正則な点からなる球面上からMartin境界上に連続拡張した作用素となることも分かった。新たに得られた散乱行列の幾何学的な性質については研究継続中である。